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Exponentielles Wachstum:
Zunahme pro Zeitschritt ist - prozentual - immer gleich, d.h.
B(n + 1) = B(n) · k.
B(n) gesucht:
Den Bestand nach n Zeitschritten berechnet man mithilfe der Formel:
B(n) = B(0) · k
n
n gesucht:
Ist n gesucht, löst man die Formel nach n auf:
B(n) = B(0) · k
n
| : B(0)
B(n) / B(0) = k
n
| log
log( B(n) / B(0) ) = log( k
n
)
log( B(n) / B(0) ) = n · log( k ) | : log( k )
n = log( B(n) / B(0) ) / log( k )
B(0) gesucht:
Ist B(0) gesucht, löst man die Formel nach B(0) auf:
B(n) = B(0) · k
n
| : k
n
B(0) = B(n) / k
n
k gesucht:
Ist k gesucht, löst man die Formel nach k auf:
B(n) = B(0) · k
n
| : B(0)
B(n) / B(0) = k
n
Zuletzt zieht man noch die n-te Wurzel
Hinweis: Auf dieser Stufe findest du vermischte Übungen zu den verschiedenen Aufgabentypen des exponentiellen Wachstums.
Zu seinem 30. Geburtstag am 1. Januar legt Herr Sparsam 5500 € zu einem Zinssatz von 2,3% an.
Auf welchen Betrag wird das Kapital bis zu seinem Renteneintritt mit 65 Jahren anwachsen?
Kapital auf dem Sparbuch an Herrn Sparsams 65. Geburtstag:
Euro
Cent
Notizfeld
Notizfeld
Tastatur
Tastatur für Sonderzeichen
+
-
*
:
/
√
^
∞
<
>
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Exponentielles Wachstum:
Zunahme pro Zeitschritt ist - prozentual - immer gleich, d.h.
B(n + 1) = B(n) · k.
B(n) gesucht:
Den Bestand nach n Zeitschritten berechnet man mithilfe der Formel:
B(n) = B(0) · k
n
n gesucht:
Ist n gesucht, löst man die Formel nach n auf:
B(n) = B(0) · k
n
| : B(0)
B(n) / B(0) = k
n
| log
log( B(n) / B(0) ) = log( k
n
)
log( B(n) / B(0) ) = n · log( k ) | : log( k )
n = log( B(n) / B(0) ) / log( k )
B(0) gesucht:
Ist B(0) gesucht, löst man die Formel nach B(0) auf:
B(n) = B(0) · k
n
| : k
n
B(0) = B(n) / k
n
k gesucht:
Ist k gesucht, löst man die Formel nach k auf:
B(n) = B(0) · k
n
| : B(0)
B(n) / B(0) = k
n
Zuletzt zieht man noch die n-te Wurzel
Beispiel 1
Ein Kapital von 2000 € vermehrt sich auf einem Sparkonto pro Jahr um 0,1%.
Nach 8 Jahren beträgt das Kapital auf dem Konto:
?
Euro
?
Cent
Beispiel 2
Ein Guthaben von 5000 € wird mit 3,7% verzinst. Nach wie vielen Jahren ist es auf 8000 € angewachsen?
Nach ? Jahren beträgt das Guthaben 8000 €.
Wachstumsrate = Wachstumsfaktor a − 1
Nimmt ein Bestand pro Zeitschritt
um
20% (= Rate) zu, so hat er sich
auf
120% (= a) des ursprünglichen Bestands vergößert.
Nimmt ein Bestand pro Zeitschritt
um
20% (Rate) ab, so hat er sich
auf
80% (= a) des ursprünglichen Bestands verringert.
Ansonsten bedenke, dass 80% = 0,8 und 120% = 1,2.
Beispiel
Wie lautet der Wachstumsfaktor (bezogen auf das angegebene Zeitintervall)
bei einer monatlichen Zunahme um die Hälfte
bei einer jährlichen Abnahme um ein Viertel
bei einem täglichen Rückgang um 1,5%
Funktionen mit der Gleichung f(x) = b · a
x
heißen
Exponentialfunktionen
. Dabei ist
a > 0 der Wachstumsfaktor und
b = f(0) der Anfangsbestand
Beispiel
Ein zu festem Jahreszinssatz angelegtes Kapital ist innerhalb von 10 Jahren auf 300% angewachsen. Wie hoch ist der Zinsatz?
Bei einem Wachstumsvorgang kann man die Änderung des Bestandes von einem Zeitschritt n auf den nächsten auf zwei Arten beschreiben.
1. absolute Änderung: B(n+1) – B(n)
2. relative (prozentuale Änderung): (B(n+1) – B(n)) / B(n)
Beispiel
2010 lebten in Berlin 3.460.725 Menschen, 2011 waren es 3.326.002. Im Jahr 2012 betrug die Einwohnerzahl von Berlin 3.375.222.
Berechne jeweils die absolute und die relative Änderung.
Runde, falls nötig, auf die zweite Nachkommastelle.
von 2010 nach 2011
von 2011 nach 2012
absolute Änderung
?
?
relative Änderung (in %)
?
?
Titel
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