Exponentielles Wachstum - Anwendungen

Exponentielles Wachstum im Sachzusammenhang, Sachaufgaben

Löse die Aufgabe Schritt für Schritt.

  • Die folgende Tabelle enthält die in Deutschland registrierten Corona-Infektionen im Zeitraum 29. Okt 2021 bis 15. Apr 2022.
    29. Okt
    4.577.488
    05. Nov
    4.733.479
    12. Nov
    4.974.112
    19. Nov
    5.293.087
    26. Nov
    5.695.206
    03. Dez
    6.097.477
    10. Dez
    6.463.737
    17. Dez
    6.757.593
    24. Dez
    6.982.228
    31. Dez
    7.176.448
    07. Jan
    7.458.396
    14. Jan
    7.885.229
    21. Jan
    8.535.962
    28. Jan
    9.524.101
    04. Feb
    11.778.829
    11. Feb
    12.196.991
    18. Feb
    13.360.578
    25. Feb
    14.504.151
    04. Mär
    15.579.480
    11. Mär
    16.881.948
    18. Mär
    18.424.575
    25. Mär
    20.018.465
    01. Apr
    21.459.975
    08. Apr
    22.534.061
    15. Apr
    23.365.504
    Quelle: statista.com
    a) Entwickle mithilfe des ersten und letzten Datensatzes eine exponentielle Modellfunktion f(x) mit 
    x
    =
    Anzahl der Wochen seit dem 29. Okt 2021.
    b) Stelle der exponentiellen Modellfunktion eine lineare Modellfunktion g(x) gegenüber (aus denselben zwei Datensätzen gewonnen).
    c) Kopiere die Tabellenwerte in ein Tabellenkalkulationsprogramm und erstelle auf dieser Grundlage ein Diagramm, das die tatsächliche Entwicklung der Infektionszahlen, die exponentielle und die lineare Modellierung (als Funktionsgraph) wiedergibt.
    Schritt 1/4
    Wenn der 29. Okt 2021 der Woche 
    x
    =
    0
     entspricht, dann entspricht der 15. April 2022 der Woche 
    x
    =
    .
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
    Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
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Exponentielles Wachstum:
Zunahme pro Zeitschritt ist - prozentual - immer gleich, d.h.
B(n + 1) = B(n) · k.

  • B(n) gesucht:
    • Den Bestand nach n Zeitschritten berechnet man mithilfe der Formel:
    B(n) = B(0) · kn

  • n gesucht:
    • Ist n gesucht, löst man die Formel nach n auf:
    B(n) = B(0) · kn | : B(0)
    B(n) / B(0) = kn | log
    log( B(n) / B(0) ) = log( kn)
    log( B(n) / B(0) ) = n · log( k ) | : log( k )
    n = log( B(n) / B(0) ) / log( k )

  • B(0) gesucht:
    • Ist B(0) gesucht, löst man die Formel nach B(0) auf:
    B(n) = B(0) · kn | : kn
    B(0) = B(n) / kn

  • k gesucht:
    Ist k gesucht, löst man die Formel nach k auf:
    B(n) = B(0) · kn | : B(0)
    B(n) / B(0) = kn
    Zuletzt zieht man noch die n-te Wurzel
Beispiel 1
Ein Kapital von 2000 € vermehrt sich auf einem Sparkonto pro Jahr um 0,1%.
Nach 8 Jahren beträgt das Kapital auf dem Konto:
?
 
Euro
 
?
 
Cent
Beispiel 2
Ein Guthaben von 5000 € wird mit 3,7% verzinst. Nach wie vielen Jahren ist es auf 8000 € angewachsen?
Nach ? Jahren beträgt das Guthaben 8000 €.
Wachstumsrate = Wachstumsfaktor a − 1
  • Nimmt ein Bestand pro Zeitschritt um 20% (= Rate) zu, so hat er sich auf 120% (= a) des ursprünglichen Bestands vergößert.
  • Nimmt ein Bestand pro Zeitschritt um 20% (Rate) ab, so hat er sich auf 80% (= a) des ursprünglichen Bestands verringert.
Ansonsten bedenke, dass 80% = 0,8 und 120% = 1,2.
Beispiel
Wie lautet der Wachstumsfaktor (bezogen auf das angegebene Zeitintervall)
  1. bei einer monatlichen Zunahme um die Hälfte
  2. bei einer jährlichen Abnahme um ein Viertel
  3. bei einem täglichen Rückgang um 1,5%
Funktionen mit der Gleichung f(x) = b · ax heißen Exponentialfunktionen. Dabei ist
  • a > 0 der Wachstumsfaktor und
  • b = f(0) der Anfangsbestand
Beispiel
Ein zu festem Jahreszinssatz angelegtes Kapital ist innerhalb von 10 Jahren auf 300% angewachsen. Wie hoch ist der Zinsatz?
Bei einem Wachstumsvorgang kann man die Änderung des Bestandes von einem Zeitschritt n auf den nächsten auf zwei Arten beschreiben.
1. absolute Änderung: B(n+1) – B(n)
2. relative (prozentuale Änderung): (B(n+1) – B(n)) / B(n)
Beispiel
2010 lebten in Berlin 3.460.725 Menschen, 2011 waren es 3.326.002. Im Jahr 2012 betrug die Einwohnerzahl von Berlin 3.375.222.
Berechne jeweils die absolute und die relative Änderung.
Runde, falls nötig, auf die zweite Nachkommastelle.
von 2010 nach 2011
von 2011 nach 2012
absolute Änderung
?
?
relative Änderung (in %)
?
?