Koordinatengeometrie im Raum - vermischte Aufgaben und Anwendungen
Abstand, Winkel, Lagebeziehung, Fläche und Volumen sowie Spiegelung geometrischer Objekte (Punkt, Gerade, Ebene, Kugel, Pyramide, Prisma) in vermischten Aufgaben und Anwendungen - von Standardverfahren hin zu anspruchsvollen Problemstellungen
Das von zwei Vektoren aufgespannte Parallelogramm besitzt einen Flächeninhalt, der der Länge des Vektorprodukts beider Vektoren entspricht.
So kannst du auch andere Flächeninhalte berechnen:
Ein Spat ("schräge Schuhschachtel") wird von drei Vektoren aufgespannt. Um sein Volumen VSpat zu berechnen, gehe wie folgt vor:
Mit dieser Vorgehensweise kannst du den Rauminhalt weiterer geometrischer Körper bestimmen:
So kannst du auch andere Flächeninhalte berechnen:
- Das von zwei Vektoren aufgespannte Dreieck besitzt einen Flächeninhalt, der der Hälfte der Länge des Vektorprodukts beider Vektoren entspricht.
- Die Flächeninhalte anderer n-Ecke lassen sich durch vorherige Zerlegung des n-Ecks in Dreiecke berechnen.
Ein Spat ("schräge Schuhschachtel") wird von drei Vektoren aufgespannt. Um sein Volumen VSpat zu berechnen, gehe wie folgt vor:
- Nimm zwei (von den drei aufspannenden Vektoren) und berechne deren Vektorprodukt.
- Berechne dann das Skalarprodukt aus dem Ergebnis von (1) und dem dritten Vektor.
- Der Betrag davon ist das Spatvolumen.
Mit dieser Vorgehensweise kannst du den Rauminhalt weiterer geometrischer Körper bestimmen:
- Vierseitiges Prisma = Spat (V4-stg.Prisma = VSpat)
- Dreiseitiges Prisma = halber Spat (V3-stg.Prisma = ½ VSpat)
- Vierseitige Pyramide (V4-stg.Pyr = 1/3 VSpat)
- Dreiseitige Pyramide (V3-stg.Pyr = 1/6 VSpat)
Für den Winkel α zwischen zwei Vektoren (stelle sie dir in ihren Fußpunkten zusammengelegt vor, 0° ≤ α ≤ 180°) gilt:
Für die Lotgerade g zu einer Ebene E durch einen Punkt P wählt man:
Spiegelungen von geometrischen Objekten an anderen führt man durch wie folgt:
cos(α) = Skalarprodukt beider Vektoren : Produkt ihrer Längen
Den Winkel zwischen anderen geometrischen Objekten bestimmt man wie folgt:- Sich schneidende Geraden g und h: Bestimme den Winkel zwischen den zugehörigen Richtungsvektoren (Ist dieser > 90°, subtrahiere ihn noch von 180°)
- Sich schneidende Gerade g und Ebene E: Subtrahiere den Winkel zwischen dem Richtungsvektor von g und dem Normalenvektor von E von 90° (und nimm den Betrag des Ergebnisses, falls nötig)
- Sich schneidende Ebenen E und F: Bestimme den Winkel zwischen den zugehörigen Normalenvektoren (Ist dieser > 90°, subtrahiere ihn noch von 180°)
Für die Lotgerade g zu einer Ebene E durch einen Punkt P wählt man:
- P als Aufhängepunkt und
- den Normalenvektor von E als Richtungsvektor.
- P als Aufhängepunkt und
- den Richtungsvektor von g als Normalenvektor.
Spiegelungen von geometrischen Objekten an anderen führt man durch wie folgt:
- Spiegelung eines Punkts P an einer Geraden g: Bestimme die Lotebene E zu g durch P. Der Schnittpunkt S von E und g ist der Lotfußpunkt. Schließlich addiert man zum Ortsvektor von S den Verbindungsvektor von P und S.
- Spiegelung eines Punkts P an einer Ebene E: Bestimme die Lotgerade g zu E durch P. Der Schnittpunkt S von E und g ist der Lotfußpunkt. Schließlich addiert man zum Ortsvektor von S den Verbindungsvektor von P und S.
- Spiegelung einer Geraden g an einer Ebene E: Spiegle zwei Punkte von g an der Ebene E und stelle die Gerade durch die gespiegelten Punkte auf.
- Spiegelung einer Kugel an einer Ebene E: Spiegle den Mittelpunkt der Kugel an E und übernimm den Radius.
