Potenzen mit rationalen Exponenten
n-te Wurzel und Kehrbruch mit Hilfe von Potenzen ausdrücken, Umwandlung zwischen beiden Darstellungsformen, Lösen von Gleichungen durch geeignete Potenzierung
Sei r eine positive rationale Zahl. Dann gilt
b−r = 1 / br
Sei b ≥ 0 und n eine natürliche Zahl. Dann giltb1/n = n√b
Sei b ≥ 0, m und n natürliche Zahlen. Dann giltbm/n = n√(bm) = (n√b)m
Beispiel 1
| = | ? |
Beispiel 2
Vereinfache jeweils so, dass die Variable nicht im Nenner oder unter der Wurzel steht:
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Beispiel 3
Schreibe jeweils als Potenz (ohne Wurzelzeichen) mit möglichst einfacher Basis:
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Sei T(x) ein beliebiger Term und r eine rationale Zahl. Die Gleichung
T(x)r = a
lässt sich (evtl.) lösen, indem man beide Seiten zunächst mit "1/r" potenziert. Dadurch erhält man:T(x) = a1/r
Keine Lösung erhält man z.B., wenn a negativ und r- eine gerade Zahl ist: x² = -1 (x² nie negativ)
- eine echt rationale Zahl ist: x1/3 = -1 (Ergebnis eines Wurzelterms nie negativ)
Beispiel
Löse die folgenden beiden Gleichungen:
| = |
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Zwei Terme T1 und T2 sind äquivalent, wenn sie die gleichen Defintionsmengen besitzen und bei jeder Einsetzung aus der Definitionsmenge den selben Wert annehmen.
Beispiel
Überprüfe jeweils auf Äquivalenz:
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