Koordinatengeometrie im Raum - Skalarprodukt und Vektorprodukt
Berechnung von Skalarprodukt, Winkel, Vektorprodukt zweier Vektoren, Anwendungen (Orthogonalität, Dreiecksflächen, Spatvolumen, Pyramidenvolumen etc.)
Lernvideo
Skalarprodukt und Vektorprodukt
Kanal: Mathegym
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine reelle Zahl (kein Vektor!).
Definiert wird es als Produkt ihrer Längen, multipliziert mit cos(α), wobei mit α der Winkel zwischen beiden Vektoren gemeint ist (stelle sie dir in ihren Fußpunkten zusammengelegt vor, 0° ≤ α ≤ 180°).
Noch einfacher lässt es sich berechnen, indem man die Koordinaten beider Vektoren zeilenweise multipliziert und die Produkte addiert.
Zwei Vektoren (jeweils ungleich dem Nullvektor) stehen genau dann senkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist.
Beispiel
Gegeben ist das Dreieck mit den Eckpunkten A(0|9|-1), B(-2|-5|3) und C(-2|-3|1). Prüfe, ob es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.
Das Vektorprodukt (auch Kreuzprodukt genannt) zweier Vektoren ist wieder ein Vektor. Hat der erste Faktor die Koordinaten a1, a2 und a3 und der zweite die Koordinaten b1, b2 und b3, so ergeben sich die Koordinaten des Kreuzprodukts nach folgender Rechenvorschrift:
a2b3 − a3b2
a3b1 − a1b3
a1b2 − a2b1
Beispiel
| = | ? |
Das von zwei Vektoren aufgespannte Parallelogramm besitzt einen Flächeninhalt, der der Länge des Vektorprodukts beider Vektoren entspricht.
Beispiel
Gegeben ist das Dreieck QRS mit den Punkten Q(2|3|-4), R(6|-1|-2) und S(9|-1|2). Bestimme seinen Flächeninhalt.
Für den Winkel α zwischen zwei Vektoren (stelle sie dir in ihren Fußpunkten zusammengelegt vor, 0° ≤ α ≤ 180°) gilt:
cos(α) = Skalarprodukt beider Vektoren : Produkt ihrer Längen
Beispiel
| = |
|
Das Vektorprodukt zweier Vektoren steht zu diesen beiden senkrecht.
Beispiel
| = |
|
| , der zu diesen beiden senkrecht steht und |
(a) die Länge 3 besitzt.
(b) dessen dritte Koordinate den Wert 1 besitzt.
Ein Spat ("schräge Schuhschachtel") wird von drei Vektoren aufgespannt. Um sein Volumen zu berechnen, gehe wie folgt vor:
- Nimm zwei (von den drei aufspannenden Vektoren) und berechne deren Vektorprodukt.
- Berechne dann das Skalarprodukt aus dem Ergebnis von (1) und dem dritten Vektor.
- Der Betrag davon ist das Spatvolumen.
Beispiel
Berechne das Volumen des von den Vektoren
,
und
aufgespannten Prismas mit
,
und
.
a
b
c
a
| = |
|
b
| = |
|
c
| = |
|
Eine Pyramide, die von drei Vektoren aufgespannt wir, passt genau sechs mal in den Spat, der von denselben drei Vektoren aufgespannt wird. Mit anderen Worten: Berechne das Spatvolumen und teile das Ergebnis durch sechs, um das Pyramidenvolumen zu erhalten.