Koordinatengeometrie im Raum - Ebenen - Parameterform
Ebene durch drei Punkte, Ebene durch zwei Geraden, Punkt auf Ebene, besondere Lage zum Koordinatensystem, gegenseitige Lage Ebene - Gerade
Um zu prüfen, ob der Punkt P auf der Ebene E liegt, setzt man die Koordinaten von P in die Gleichung von E (Parameterform) ein. Sofern sich beide Parameter eindeutig bestimmen lassen, gilt P ∈ E.
Beispiel
| = |
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Prüfe, ob der Punkt P(-1|3|5) auf E liegt.
Ist eine Ebene durch drei Punkte A, B, C eindeutig definiert (d.h. die Punkte dürfen nicht alle auf einer Geraden liegen), so kann man z.B. A als Aufpunkt, den Vektor von A nach B als ersten und den Vektor von A nach C als zweiten Richtungsvektor für ihre Gleichung in Parameterform verwenden.
Beispiel
Gib für die Ebene E, die durch die drei Punkte A(2|0|0), B(1,5|2|0,5) und C(0|0|-2) geht, eine Gleichung in Parameterform an.
Eine Gerade g und eine Ebene E sind genau dann parallel, wenn die drei vorkommenden Richtungsvektoren (einer von g und zwei von E) linear abhängig sind.
Abgesehen davon kann man die gegenseitige Lage von E und g einschließlich des evtl. vorhandenen Schnittpunkts S wie folgt ermitteln:
- Setze g und E gleich.
- Löse, wenn möglich, das entstehende Gleichungssystem (drei Gleichungen, drei unbekannte Parameter).
- Setze z.B. das Ergebnis für den g-Parameter in g ein, um S auszurechnen.
- echt parallel, wenn es keine Lösung gibt.
- unecht parallel (E enthält g), wenn sich unendlich viele Lösungen ergeben.
Beispiel
| = |
|
Überprüfe die Lage der Ebene E zu den Geraden g und h und bestimme, falls vorhanden, den jeweiligen Schnittpunkt.
Zwei Geraden g und h legen eine Ebene fest, wenn sie
- sich in einem Punkt schneiden:
- echt parallel sind (d.h. parallel und nicht identisch):
Beispiel
| = |
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Die Ebene E enthält die Geraden g und h, die Ebene F die Geraden g und i. Gib für E und F jeweils eine Gleichung in Parameterform an.
Eine "besondere Lage zum Koordinatensystem" hat eine Ebene E z.B. dann, wenn
- sie durch den Ursprung geht und/oder
- sie parallel zu einer Koordinatenebene ist und/oder
- sie parallel zu einer Achse verläuft.
Beispiel
Welche besondere Lage im Koordinatensystem haben folgende Ebenen:
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