Ähnlichkeit
Überprüfung von Ähnlichkeit (auch mit Hilfe von Vektoren), Berechnung an ähnlichen Dreiecken
Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie in den jeweils entsprechenden Winkeln und allen Seitenverhältnissen entsprechender Seiten übereinstimmen. Dieses Verhältnis wird als Streckungsfaktor (oder Ähnlichkeitsfaktor) k bezeichnet; k drückt aus, wie lang die Seiten in Figur 2 im Vergleich zu den entsprechenden Seiten in Figur 1 sind. Z.B. bedeutet k=0,5, dass Figur 2 längenmäßig halb so groß wie Figur 1 ist.
- Kennt man k, so kann man zu jeder Seitenlänge in Figur 1 durch Multiplikation mit k die entsprechende Seitenlänge in Figur 2 angeben.
- Kennt man die Längen von zwei sich entsprechenden Seiten in Figur 1 und Figur 2, so kann man k durch Division der Seitenlängen "Figur 2 : Figur 1" bestimmen.
Beispiel
Die beiden Figuren sind ähnlich. Berechne die fehlenden Seitenlängen und gib die fehlenden Winkel an (Abbildungen nicht maßstabsgetreu).
a | = | ? |
β | = | ? |
γ | = | ? |
b' | = | ? |
| = | ? |
| = | ? |
Zwei Dreiecke können unterschiedlich groß sein und doch ähnlich aussehen, weil sie dieselben Proportionen (Seitenverhältnisse) haben.
Ähnlich sind zwei Dreiecke dann, wenn sie ... übereinstimmen.
- im Längenverhältnis sich entsprechender Seiten (S:S:S-Satz)
- in zwei Winkeln (W:W-Satz)
- in einem Winkel und dem Längenverhältnis der anliegenden Seiten (S:W:S-Satz)
- im Längenverhältnis zweier sich entsprechender Seiten und dem Winkel gegenüber der längeren Seite (S:s:W-Satz)
Beispiel
Gegeben sind die Dreiecke ABC und DEF mit
Sind beide Dreiecke ähnlich und wenn ja nach welchem Satz?
γ | = | 45°, |
a | = | 1, |
b | = | 2, |
δ | = | 45°, |
d | = | 4, |
e | = | 2. |
