05.4.1 Terme. Klammern auflösen (Distributivgesetz) (Grundlagen aus Realschule)

Multiplikation und Division von Summen - Lehrplan

Hilfe
  • Hilfe speziell zu dieser Aufgabe
    Die Beträge der einzugebenden Zahlen ergeben in der Summe 19.
  • Die Anzahl der Summanden, die sich nach dem Ausmultiplizieren mehrerer Summen ergibt, lässt sich ebenso leicht bestimmen wie die höchsten Variablenpotenzen:
    • Anzahl der Summanden: Nimm von jeder Klammer die Anzahl der Summanden und bilde das Produkt.
    • Höchste Potenz einer Variable: Nimm aus jeder Klammer die höchste Potenz dieser Variable und multipliziere diese Potenzen.
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu dieser Aufgabe" unterhalb der Aufgabe.

Multipliziert man den Term aus, so erhält man eine Summe (mit negativen und positiven Summanden). Wie viele Summanden ergeben sich dabei und welche höchsten Variablenpotenzen treten auf?

  • b
    2
    −
    a
    ·
    0,3 a
    5
    −
    b
    +
    1
    3
    ·
    b
    4
    Summanden
    ;
    a
    ;
    b
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
    Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
keine Berechtigung
Distributivgesetz:

a · (b + c ) = a · b + a · c    ("Klammer ausmultiplizieren")

(a + b ) : c = a : c + b : c

Statt + kann man auch − einsetzen, d.h. das Distributivgesetz gilt für Summen wie auch für Differenzen, die mit einer Zahl multipliziert oder durch eine Zahl dividiert werden.

Beispiel 1
Multipliziere aus und gib gekürzt an:
2
9
·
3
5
−
6c
=
?
Beispiel 2
Multipliziere aus und gib gekürzt an:
−
1
3
·
−
2a
+
−
12b
+
3c
=
?
Beispiel 3
Multipliziere aus und gib gekürzt an:
5
3
 
ab
−
1
3
 
a
2
−
3b
·
−
6
5
=
?
Beim Multiplizieren zweier Summen muss jeder Summand der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert werden (ergibt sich aus dem Distributivgesetz):

(a + b) · (c + d) = ac + ad + bc + bd

Beispiel 1
Multipliziere aus und vereinfache:
a) 
x
+
3
·
4
−
5x
b) 
−
10
−
a
·
−
7
+
b
c) 
x
2
−
1
−
2
3
 
a
·
3x
−
1
2
Beispiel 2
Multipliziere aus und vereinfache:
2
5
 
uv
−
2
3
·
15u
2
+
1
−
uv
Beispiel 3
b
−
2
3
 
b
·
6a
·
a
−
30%
+
1
2
 
a
2
·
b
−
4ab
−
ab
2
Die Anzahl der Summanden, die sich nach dem Ausmultiplizieren mehrerer Summen ergibt, lässt sich ebenso leicht bestimmen wie die höchsten Variablenpotenzen:
  • Anzahl der Summanden: Nimm von jeder Klammer die Anzahl der Summanden und bilde das Produkt.
  • Höchste Potenz einer Variable: Nimm aus jeder Klammer die höchste Potenz dieser Variable und multipliziere diese Potenzen.
Beispiel
Wie viele Summanden ergeben sich nach dem Ausmultiplizieren und welche höchsten Variablenpotenzen?
x
+
2
−
y
2
·
2y
5
−
x
−
5x
2
+
1
3
·
x
+
1
·
y
3
Bei komplexeren Termen hilft meist die folgende Strategie weiter:
  1. Klammern auflösen/ausmultiplizieren
  2. gleichartige Terme durch Addieren/Subtrahieren zusammenfassen
Beispiel
Vereinfache:
3
−
2
9
 
v
−
2
3
−
1
3
·
6
−
v
·
2
Unterscheide zwischen
  • a · (b · c) = a · b · c   (A-Gesetz)
  • a · (b + c) = a · b + a · c   (D-Gesetz)
Beispiel
Vereinfache:
12,5%
·
s
:
5
−
4
+
1,8s
·
1
1
2
 
s
+
t
2
−
3t
·
s
:
6
·
2t