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  • Ein Gleichungssystem besteht aus mehreren Gleichungen mit einer oder mehreren Variablen. Grundsätzlich sind drei Fälle denkbar:
    • eine eindeutige Lösung
    • unendlich viele Lösungen
    • keine Lösung
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Berechne im Kopf. Gib evtl. auftretende Brüche in der Form "a/b" bzw. "-a/b" an. Gib "!" an, falls es keine oder unendlich viele Lösungen des Gleichungssystems gibt.

  • 3x
    =
    2
    y
    y
    =
    3
    x
    =
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Ein Gleichungssystem besteht aus mehreren Gleichungen mit einer oder mehreren Variablen. Grundsätzlich sind drei Fälle denkbar:
  • eine eindeutige Lösung
  • unendlich viele Lösungen
  • keine Lösung
Beispiel
Betrachte die folgenden drei Gleichungssysteme und bestimme jeweils, falls möglich, die Lösung(en).
-----------------------
x
=
1
y
=
x
2
-----------------------
x
+
y
=
2
2x
+
2y
=
4
-----------------------
x
+
y
=
2
x
+
y
=
1
-----------------------
Gleichungssysteme lassen sich z.B. mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens oder des Additionsverfahrens lösen. Beide Verfahren laufen darauf hinaus, Gleichungen mit jeweils nur einer Unbekannten zu erhalten, nach der man dann auflösen kann.
Beispiel 1

Löse mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens:

I: 2x + 3y = 5
II: 3y − x = 0,5
Beispiel 2
Löse mit Hilfe des Additionsverfahrens:
2x
+
3y
=
5
2y
3
=
x
Ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten lässt sich nach demselben Rezept lösen wie bei zwei Gleichungen und zwei Unbekannten. Z.B. mit dem Einsetzungsverfahren:
  1. Löse eine Gleichung nach einer Unbekannten auf.
  2. Setze in die anderen beiden Gleichungen ein.
  3. Nun hast du nur noch zwei Gleichungen und zwei Unbekannte; löse wie gewohnt.
  4. Ganz zum Schluss, wenn du die beiden Unbekannten aus Schritt 3 ermittelt hast, setze diese in die Gleichung aus Schritt 1 ein und ermittle damit die dritte Unbekannte.
Beispiel
Von drei Unbekannten a, b und c weiß man:
  • Die Summe von a, b, c und 17 ist gleich das Doppelte der Differenz von a und b
  • Die Summe von a und b ist gleich das Doppelte von c
  • Das Dreifache von a ist gleich das Vierfache von b
Bestimme a, b und c mittels geeignetem Gleichungssystem.