Ähnlichkeit / Strahlensätze - Matheaufgaben

Berechnungen an der X- und V-Figur, Nachweis von Ähnlichkeit mit Hilfe der Ähnlichkeitssätze - Lehrplan Baden-Württemberg, Gymnasium, 9. Klasse/10. Klasse

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Hilfe
  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level

  • In der V-Figur (e und f parallel) sind folgende Verhältnisse gleich:

    a : b = c : d
    Man spricht vom 1. Strahlensatz; hier werden die Abschnitte auf beiden Strahlen zueinander in Beziehung gesetzt.

    a : g = c : h = e : f
    Man spricht vom 2. Strahlensatz; hier werden die Seitenlängen des kleinen und des großen Dreiecks zueinander in Beziehung gesetzt.

Bestimme x in der V-Figur mit zwei parallelen Geraden. Evtl. auftretende Brüche sind in der Form "a/b" bzw. "-a/b" anzugeben.

graphik
x =
  • Nebenrechnung
Checkos: 0 max.

In der V-Figur (e und f parallel) sind folgende Verhältnisse gleich:

a : b = c : d
Man spricht vom 1. Strahlensatz; hier werden die Abschnitte auf beiden Strahlen zueinander in Beziehung gesetzt.

a : g = c : h = e : f
Man spricht vom 2. Strahlensatz; hier werden die Seitenlängen des kleinen und des großen Dreiecks zueinander in Beziehung gesetzt.

Beispiel
Skizze (nicht maßstabsgetreu):
graphik
Berechne x.

In der X-Figur (b parallel zu e) sind folgende Verhältnisse gleich:

d : a = f : c = e : b   (kleines Dreieck : großes Dreieck)

Umkehrung des ersten Strahlensatzes: Um in einer "V-Figur" zu überprüfen, ob die vermeintlich parallelen Geraden wirklich parallel sind, bestimmt man bei beiden Strahlen das Verhältnis "vorderer Abschnitt" : "hinterer Abschnitt". Ist das Verhältnis gleich, so liegt Parallelität vor.

Vorsicht: sobald du die Längen der vermeintlich parallelen Strecken bei der Prüfung miteinbeziehst, kannst du nicht sicher auf Parallelität schließen (d.h. der zweite Strahlensatz ist nicht umkehrbar). Selbst wenn die Verhältnisse gleich sind, müssen also weitere Überlegungen angestellt werden.

Zwei Dreiecke können unterschiedlich groß sein und doch "ähnlich" aussehen, weil sie dieselben Proportionen (Seitenverhältnisse) haben.

Ähnlich nennt man zwei Dreiecke also dann wenn

  • sie im Verhältnis ihrer Seiten übereinstimmen (S : S : S − Satz),
  • was genau dann der Fall ist, wenn sie in zwei Winkeln (und damit auch im dritten) übereinstimmen (WW − Satz).