Ganzrationale Funktionen - mehrfache Nullstellen - Matheaufgaben

Nullstellen und ihre Vielfachheit aus dem Funktionsterm ablesen und graphisch interpretieren - Lehrplan Baden-Württemberg, Gymnasium, 9. Klasse/10. Klasse

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  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
  • Der Satz vom Nullprodukt sagt:

    Ist ein Produkt von zwei Zahlen Null, dann muss mindetens ein Faktor Null sein.

    In etwas formalerer Schreibweise: Aus a·b= 0 folgt a = 0 und/oder b = 0.

    Es folgt sofort: Ist ein Produkt aus mehreren Faktoren Null, dann muss mindetens ein Faktor Null sein.

    Vielfachheit von Lösungen:

    Die Gleichung (x-1)2 = 0 hat nur die Lösung x = 1, da der Faktor (x-1) aber zwei Mal auftritt, sagt man, dass x = 1 eine zweifache Lösung ist.

    Entsprechend gibt es einfache, dreifache usw. Lösungen.

Löse die Gleichung. Gib die Lösungen samt ihrer Vielfachheit der Größe nach ein. Die kleinere zuerst. Falls die Gleichung weniger als zwei Lösungen hat, gib jeweils ! in der zweiten Zeile ein.

x
+
2
·
x
−
2
=
0
x
1
=
(kleinere Lösung) mit Vielfachheit
x
2
=
mit Vielfachheit
  • Nebenrechung
Checkos: 0 max.

Lernvideo
Ganzrationale Funktionen (Teil 2)
Der Satz vom Nullprodukt sagt:

Ist ein Produkt von zwei Zahlen Null, dann muss mindetens ein Faktor Null sein.

In etwas formalerer Schreibweise: Aus a·b= 0 folgt a = 0 und/oder b = 0.

Es folgt sofort: Ist ein Produkt aus mehreren Faktoren Null, dann muss mindetens ein Faktor Null sein.

Vielfachheit von Lösungen:

Die Gleichung (x-1)2 = 0 hat nur die Lösung x = 1, da der Faktor (x-1) aber zwei Mal auftritt, sagt man, dass x = 1 eine zweifache Lösung ist.

Entsprechend gibt es einfache, dreifache usw. Lösungen.

Beispiel
Löse die Gleichung.
x
−
1
·
3x
−
5
2
=
0
Jede Nullstelle einer ganzrationalen Funktion besitzt eine bestimmte Vielfachheit.

Ist a eine Nullstelle, so kann f(x) als Produkt mit Faktor x − a geschrieben werden. Kommt x − a genau n mal als Faktor vor (also "hoch n"), so nennt man a eine n-fache Nullstelle.

Beispiel
Bestimme jeweils die Nullstellen und ihre Vielfachheiten:
f(x)
=
x
−
1
2
·
x
+
2
g(x)
=
x
2
+
1
·
x
2
−
4
h(x)
=
x
−
5
2
+
2
Die Vielfachheit einer Nullstelle wirkt sich auf das Verhalten des Graphen wie folgt aus
  • ungerade Vielfachheit (also einfach, dreifach, fünffach usw.) bedeutet, dass der Graph die x-Achse an der betreffenden Stelle schneidet ("Nullstelle mit Vorzeichenwechsel").
  • gerade Vielfachheit (also doppelt, vierfach, sechsfach usw.) bedeutet, dass der Graph die x-Achse an der betreffenden Stelle berührt ("Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel").