Raumgeometrie - Anwendungsaufgaben

Innermathematische und sachbezogene Anwendungsaufgaben zu den räumlichen Körpern Prisma, Pyramide, Zylinder und Kegel (in Bezug auf Volumen, Oberfläche, Winkel und Streckenlängen) - Lehrplan für 11.-12. Klasse

Hilfe
  • Hilfe speziell zu dieser Aufgabe
    Die Quersumme der gesuchten Zahl lautet 14.
  • Oberflächenformeln im Überblick (G: Grundfläche; M: Mantelfläche):
    • Gerades Prisma: O = 2·G + M (Der Mantel besteht aus mehreren Rechtecken)
    • Pyramide: O = G + M (Der Mantel besteht aus mehreren Dreiecken)
    • Zylinder: O = 2·G + M = 2 · r² π + 2 π r · h (G ist eine Kreisfläche, M eine Rechtecksfläche)
    • Kegel: O = G + M = r² π + r π m (G ist eine Kreisfläche, M die Fläche eines Kreissektors)

Gesucht ist eine Oberfläche im Sachzusammenhang. Löse die Aufgabe Schritt für Schritt.

  • graphik
    The Shard ist ein ca. 310m hoher Wolkenkratzer in London. Er lässt sich näherungsweise als gerade, vierseitige Pyramide mit quadratischer Grundfläche beschreiben. Die Seitenlänge der Grundfläche beträgt ca. 70m. Die Mantelfläche von The Shard ist komplett verglast. Berechne, wie viele Quadratmeter Glas insgesamt verbaut wurden, und runde das Ergebnis auf Hunderter Quadratmeter.
    Gesamte Glasfläche:  M ≈ m²
    Notizfeld
    Notizfeld
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keine Berechtigung
Volumenformeln im Überblick:
  • Quader und Prisma: V = G · h
  • Pyramide: V = ⅓ G · h
  • Zylinder: V = r² π · h
  • Kegel: V = ⅓ r² π · h
Oberflächenformeln im Überblick (G: Grundfläche; M: Mantelfläche):
  • Gerades Prisma: O = 2·G + M (Der Mantel besteht aus mehreren Rechtecken)
  • Pyramide: O = G + M (Der Mantel besteht aus mehreren Dreiecken)
  • Zylinder: O = 2·G + M = 2 · r² π + 2 π r · h (G ist eine Kreisfläche, M eine Rechtecksfläche)
  • Kegel: O = G + M = r² π + r π m (G ist eine Kreisfläche, M die Fläche eines Kreissektors)
Die wichtigsten Werkzeuge beim Umgang mit Strecken und Winkeln in der Raumgeometrie:

Im rechtwinkligen Dreieck mit (Gegen-)Kathete a und (An-)Kathete b und Hypotenuse c gilt:
  • Der Satz von Pythagoras: a² + b² = c²
  • Trigonometrische Gleichungen: sin(α) = a/c, cos(α) = b/c, tan(α) = a/b

Auch der Strahlensatz kann in der Raumgeometrie oft weiterhelfen:

In der V-Figur sind folgende Verhältnisse gleich:

e : b = f : c = d : a (kleines Dreieck : großes Dreieck)

e : h = f : g (vorderer Abschnitt : hinterer Abschnitt)