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  • Zentrische Streckung

    Die Zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung. Eine Figur wird im gegebenen Verhältnis vergrößert oder verkleinert. Dabei gilt:

    • Alle Streckenpaare von Ursprungs-Figur und Bild sind jeweils parallel.
    • Streckzentrum, Punkt und Bildpunkt liegen auf einer Geraden (hilfreich für die Konstruktion!).
    • Die Form der Figur verändert sich nicht, insbesondere bleiben alle Winkel gleich groß.
    • Der Streckfaktor gibt das Maß der Vergrößerung/Verkleinerung an und berechnet sich als Quotient aus Bildstreckenlänge und Ausgangsstreckenlänge, z.B. |k| = ZA' : ZA.

    Was uns der Streckfaktor k sagt...:

    • k positiv ⇒ Figur und Bild liegen auf der selben Seite des Streckzentrums.
    • k negativ ⇒ Figur und Bild liegen auf unterschiedlichen Seiten des Streckzentrums.
    • |k| > 1 ⇒ Bild ist vergrößert.
    • |k| < 1 ⇒ Bild ist verkleinert.
    • Bildstrecke ist |k| - fach so lang wie die Ursprungsstrecke.
    • Flächeninhalt des Bildes ist k2 so groß wie Flächeninhalt der Ausgangsfigur.

Kreuze alle richtigen Aussagen an.

  • Gegeben: Streckfaktor 
    k
    =
    2
    .
    Richtig ist…
    Alle Längen verdoppeln sich.
    Alle Längen vervierfachen sich.
    Alle Winkel verdoppeln sich.
    Der Flächeninhalt verdoppelt sich.
    Der Flächeninhalt vervierfacht sich.
    Ausgangsfigur und Bild haben keine gemeinsamen Punkte.
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Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie in den jeweils entsprechenden Winkeln und allen Seitenverhältnissen entsprechender Seiten übereinstimmen. Dieses Verhältnis wird als Streckungsfaktor (oder Ähnlichkeitsfaktor) k bezeichnet; k drückt aus, wie lang die Seiten in Figur 2 im Vergleich zu den entsprechenden Seiten in Figur 1 sind. Z.B. bedeutet k=0,5, dass Figur 2 längenmäßig halb so groß wie Figur 1 ist.

  • Kennt man k, so kann man zu jeder Seitenlänge in Figur 1 durch Multiplikation mit k die entsprechende Seitenlänge in Figur 2 angeben.
  • Kennt man die Längen von zwei sich entsprechenden Seiten in Figur 1 und Figur 2, so kann man k durch Division der Seitenlängen "Figur 2 : Figur 1" bestimmen.
Beispiel
Die beiden Figuren sind ähnlich. Berechne die fehlenden Seitenlängen und gib die fehlenden Winkel an (Abbildungen nicht maßstabsgetreu).
graphik
a
=
?
β
=
?
γ
=
?
b'
=
?
α
 
'
=
?
β
 
'
=
?
Zwei Dreiecke können unterschiedlich groß sein und doch ähnlich aussehen, weil sie dieselben Proportionen (Seitenverhältnisse) haben.

Ähnlich sind zwei Dreiecke dann, wenn sie ... übereinstimmen.

  • im Längenverhältnis sich entsprechender Seiten (S:S:S-Satz)
  • in zwei Winkeln (W:W-Satz)
  • in einem Winkel und dem Längenverhältnis der anliegenden Seiten (S:W:S-Satz)
  • im Längenverhältnis zweier sich entsprechender Seiten und dem Winkel gegenüber der längeren Seite (S:s:W-Satz)
Der Satz gilt auch in umgekehrter Richtung, d.h. in zueinander ähnlichen Dreiecken trifft jede der aufgeführten Übereinstimmungen zu.
Beispiel
Gegeben sind die Dreiecke ABC und DEF mit 
γ
=
45°,
 
a
=
1,
 
b
=
2,
 
δ
=
45°,
 
d
=
4,
 
e
=
2.
 Sind beide Dreiecke ähnlich und wenn ja nach welchem Satz?

Zentrische Streckung

Die Zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung. Eine Figur wird im gegebenen Verhältnis vergrößert oder verkleinert. Dabei gilt:

  • Alle Streckenpaare von Ursprungs-Figur und Bild sind jeweils parallel.
  • Streckzentrum, Punkt und Bildpunkt liegen auf einer Geraden (hilfreich für die Konstruktion!).
  • Die Form der Figur verändert sich nicht, insbesondere bleiben alle Winkel gleich groß.
  • Der Streckfaktor gibt das Maß der Vergrößerung/Verkleinerung an und berechnet sich als Quotient aus Bildstreckenlänge und Ausgangsstreckenlänge, z.B. |k| = ZA' : ZA.

Was uns der Streckfaktor k sagt...:

  • k positiv ⇒ Figur und Bild liegen auf der selben Seite des Streckzentrums.
  • k negativ ⇒ Figur und Bild liegen auf unterschiedlichen Seiten des Streckzentrums.
  • |k| > 1 ⇒ Bild ist vergrößert.
  • |k| < 1 ⇒ Bild ist verkleinert.
  • Bildstrecke ist |k| - fach so lang wie die Ursprungsstrecke.
  • Flächeninhalt des Bildes ist k2 so groß wie Flächeninhalt der Ausgangsfigur.

Beispiel 1
Die blaue Figur ist aus der roten Figur durch eine zentrische Streckung entstanden. Zeichne die Figuren in ein Koordinatensystem und ermittle das Streckzentrum Z und den Streckfaktor k.
graphik
Z
 
?
 
|
 
?
k
=
?
Beispiel 2
Strecke das Viereck ABCD am Streckzentrum Z mit Streckfaktor k.
A
 
1
 
|
 
0
B
 
3
 
|
 
1
C
 
2
 
|
 
1
D
 
1
 
|
 
4
Streckzentrum:
Z
 
2
 
|
 
2
Streckfaktor:
k
=
2
Gib die Koordinaten der gestreckten Figur an.
A'
 
?
 
|
 
?
B'
 
?
 
|
 
?
C'
 
?
 
|
 
?
D'
 
?
 
|
 
?

Zentrische Streckung

Die Zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung. Eine Figur wird im gegebenen Verhältnis vergrößert oder verkleinert (oder bleibt gleich). Dabei gilt:

  • Alle Streckenpaare von Urfigur und Bildfigur sind jeweils parallel (oder identisch).
  • Streckungszentrum Z, Urpunkt und Bildpunkt liegen auf einer Geraden (hilfreich für die Konstruktion!).
  • Die Form der Figur verändert sich nicht, insbesondere bleiben alle Winkelmaße gleich groß.
  • Der Streckungsfaktor k gibt das Maß der Vergrößerung/Verkleinerung an und berechnet sich als Quotient aus Bildstreckenlänge und Ausgangsstreckenlänge, z.B. |k |=| ZA'| : |ZA|.

Was uns der Streckfaktor k sagt...:

  • k positiv ⇒ Urfigur und Bildfigur liegen auf derselben Seite von Z.
  • k negativ ⇒ Urfigur und Bildfigur liegen auf unterschiedlichen Seiten von Z.
  • |k| > 1 ⇒ Bildfigur ist vergrößert.
  • |k| < 1 ⇒ Bildfigur ist verkleinert.
  • Bildstrecke ist |k| - fach so lang wie die Ursprungsstrecke.
  • Flächeninhalt der Bildfigur ist k2 so groß wie Flächeninhalt der Urfigur.