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Bruchgleichungen (optional)
Lösung mittels kreuzweiser Multiplikation/Multiplikation mit dem Hauptnenner/Mitternachtsformel; Lösung mittels Graf, Einschränkungen für x und Proberechnung; Textaufgaben - Lehrplan
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Beispielaufgabe
Bei einer Bruchgleichung kommt die Variable x auch im Nenner vor. Um zu verhindern, dass sich im Nenner die Zahl 0 ergibt, müssen evtl. bestimmte Werte für x ausgeschlossen werden.
TIPP
Beispiel-Aufgabe:
Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.
Welche x-Werte dürfen ungeachtet der Gleichung für x nicht eingesetzt werden?
2x
−
4
1
+
x
=
x
−
1
5
−
2x
Nicht definiert ist:
x
=
2
x
=
−
1
x
=
1
x
=
2,5
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Stoff zum Thema (+Video)
Bei einer Bruchgleichung kommt die Variable x auch im Nenner vor. Um zu verhindern, dass sich im Nenner die Zahl 0 ergibt, müssen evtl. bestimmte Werte für x ausgeschlossen werden.
Beispiel
Welche x-Werte gehören bei folgender Gleichung nicht zur Grundmenge?
3
x
−
1
=
5
−
x
2x
+
3
Ein Zwischenziel beim Lösen von Bruchgleichungen besteht darin, die Gleichung nennerfrei zu machen. Das gelingt, auch bei Bruchgleichungen mit mehreren Summanden, indem man beide Seiten mit dem Produkt aller auftretenden Nennerterme bzw. mit ihrem kleinsten gemeinsamen Vielfachen ("Hauptnenner") multipliziert.
Beispiel 1
Löse die Gleichung:
3x
−
1
2x
+
3
=
−
6x
2
−
4x
Beispiel 2
5
+
7x
−
2
4x
−
6
=
2x
9
−
6x
Beispiel 3
Löse die Gleichung
3
x
−
3
−
1
x
=
x
+
1
x
3
−
6x
2
+
9x
Hat man für eine Bruchgleichung eine Lösung ermittelt, sollte man sie noch einmal überprüfen:
Im Nenner darf sich nicht Null ergeben
Eingesetzt in die Gleichung ergibt sich eine wahre Aussage (z.B. 3 = 3)
Kommt in einer Bruchgleichung nur ein Bruch mit x im Nenner vor, so multipliziert man beide Seiten der Gleichung mit dem Nenner dieses Bruchs. Durch anschließendes Kürzen erhält man eine vereinfachte (nennerfreie) Gleichung.
Beispiel
Wandle in eine nennerfreie Gleichung um und vereinfache diese:
5x
3x
−
1
+
7x
=
2
Die Lösunge(en) einer Bruchgleichung kann man aus einem Diagramm ablesen: Die Stellen (also die x-Koordinaten der Punkte), wo sich die Grafen von b
1
und b
2
schneiden, sind Lösung(en) der Gleichung b
1
(x) = b
2
(x).
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