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Gib einen passenden Funktionsterm an. (Verwende x als Variable.)

"Eine Wassertonne hat ein Loch. Zu Beginn der Messung waren 500 Liter Wasser in der Tonne. Pro Sekunde fließen 3 Liter heraus."
Funktionsterm für die Wassermenge in der Tonne nach x Sekunden:
y
=
  • Nebenrechnung

Um den Funktionsterm einer abgebildeten Geraden zu ermitteln, gehe wie folgt vor:
  1. Der y-Achsenabschnitt lässt sich direkt aus dem Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse ablesen.
  2. Suche zwei Punkte auf der Geraden, deren Koordinaten sich gut ablesen lassen und betrachte das Steigungsdreieck zwischen diesen beiden Punkten. Die Breite des Dreiecks ergibt den Nenner, die Höhe des Dreiecks den Zähler der Steigung.
  3. Falls die Gerade fällt, schreibe noch ein Minus vor den oben ermittelten Bruch. Damit hast du die Steigung.
Beispiel
Lies jeweils die genauen Werte für m und c ab:
graphik
Mit zunehmenden x-Werten
  • nehmen auch die y-Werte zu, falls die Gerade steigt,
  • nehmen die y-Werte ab, falls die Gerade fällt,
  • sind die y-Werte konstant, falls die Gerade parallel zur x-Achse verläuft.
Für x = 0 ergibt sich
  • ein positiver y-Wert, falls die Gerade die y-Achse oberhalb der x-Achse schneidet,
  • ein negativer y-Wert, falls die Gerade die y-Achse unterhalb der x-Achse schneidet,
  • der y-Wert 0, falls die Gerade durch den Ursprung geht.

Eine lineare Funktion mit der Gleichung y = m·x + c ergibt grafisch immer eine Gerade. Dabei ist m die Steigung (zeigt an, wie stark die Gerade steigt oder fällt) und c der y-Achsenabschnitt (zeigt an, wo die Gerade die y-Achse schneidet) der Gerade.

  • Ist m positiv, so steigt die Gerade (von links nach rechts)
  • Ist m negativ, so fällt die Gerade (von links nach rechts)
  • Ist m = 0, so verläuft die Gerade parallel zur x-Achse
Beispiel
Welche Informationen lassen sich bzgl. der Steigung m und des y-Achsen-Abschnitts c ablesen?
graphik
Gegeben ist die Gleichung einer Geraden. Um sie zu zeichnen, benötigt man zwei Punkte. Diese erhält man z.B., indem man zwei unterschiedliche x-Werte in die Gleichung einsetzt und die zugehörigen y-Werte ausrechnet. Praktischer Weise sollte man mit x=0 anfangen (wenig Rechenaufwand; der zugehörige y-Wert ist der y-Achsenabschnitt).
Beispiel
Zeichne die Gerade mit folgender Gleichung:
 
y
=
2
1
3
 
x
Jede nicht senkrechte Gerade und damit jede lineare Zuordnung kann durch eine Gleichung ähnlich

y = 1/3 x + 1

beschrieben werden.
Beispiel
Beschreibe die drei Geraden jeweils durch eine Gleichung von der Art y = ? · x + ?.
graphik
- - - - - - - - - - - Schwarz:
Für x = 0 ergibt sich y = -2, also hat der Summand am Ende des Terms den Wert -2.
graphik
Am sogenannten Steigungsdreieck erkannt man: Nimmt x um 2 Einheiten zu, so nimmt y um 3 Einheiten zu, also hat der Faktor vor x den Wert 3/2 .
y
=
3
2
 
x
2
- - - - - - - - - - - Grün:
Für x = 0 ergibt sich y = -1, also hat der Summand am Ende des Terms den Wert -1.
graphik
Nimmt x um 2 Einheiten zu, so nimmt y um 1 Einheit ab, also hat der Faktor vor x den Wert -1/2 ("Minus" da "abnehmend").
y
=
1
2
 
x
1
- - - - - - - - - - - Orange:
y ist immer 0,5 (unabhängig von x), also lautet die Gleichung y = 0,5 (das heißt der Faktor vor x hat den Wert 0).
Beispiel
Dirk wiegt 72 kg und möchte mit Krafttraining Muskelmasse aufbauen, um Wrestler im Superschwergewicht zu werden. Mit Hilfe eines strengen Trainings- und Ernährungsplans will er monatlich 5 kg zulegen. Sebastian hat mit 102 kg deutlich Übergewicht und will durch eine disziplinierte Diät wöchentlich 500g abnehmen. Nach wie vielen Wochen wären Dirk und Sebastian gleich schwer, wenn sie mit der Umsetzung ihrer Pläne zur selben Zeit beginnen und durchhalten?
Um zu überprüfen, ob ein Punkt P(x | y) auf der Geraden liegt, setzt man den x-Wert in den Funktionsterm ein und berechnet den Termwert. Ist das Ergebnis der y-Wert des Punktes, dann liegt der Punkt auf der Geraden.
Beispiel
Liegt der Punkt P auf der Geraden g?
Gerade:
 
y
=
2
·
x
+
5
Punkt:
 
P
 
3
 
|
 
10
Um zu überprüfen, ob ein Punkt (a|b) über, auf oder unter dem Grafen einer Funktion liegt, setzt man a in den Funktionsterm f(x) ein. Der Punkt liegt
  • über dem Grafen, wenn b > f(a)
  • auf dem Grafen, wenn b = f(a)
  • unter dem Grafen, wenn b < f(a)
Beispiel
g
:
 
 
y
=
1
3
 
x
+
2
3
;
 
 
 
 
 
 
 
 
A
 
2
 
|
 
0
;
 
 
 
 
B
 
4
 
|
 
2,5
;
 
 
 
 
C
 
8
 
|
 
3
A liegt    
 
?über
 
   
 
?auf
 
   
 
?unter der Geraden g
B liegt    
 
?über
 
   
 
?auf
 
   
 
?unter der Geraden g
C liegt    
 
?über
 
   
 
?auf
 
   
 
?unter der Geraden g
Um die Gerade mit der Gleichung y=mx+t zu zeichnen, gehe am besten wie folgt vor:
  1. Stelle die Steigung m als Bruch dar (falls nicht schon als Bruch gegeben), z.B. m = -1/4 .
  2. Gehe vom Schnittpunkt mit der y-Achse, also P(0|t) aus um den Nennerbetrag, hier also um 4, nach rechts.
  3. Gehe dann um den Zählerbetrag nach oben (falls m postiv) bzw. unten (falls m negativ). Hier also um 1 nach unten. Damit hast du einen zweiten Punkt und kannst die Gerade zeichnen.
Die Schritte 2 und 3 können auch vertauscht werden. Ebenso ist es egal, ob du Kästchen oder ganze Einheiten abzählst. Wichtig ist nur, dass du nach rechts und nach oben (bzw. unten) die gleichen Schrittlängen abgehst.
Beispiel
Zeichne die Gerade mit folgender Gleichung:
 
y
=
2
1
3
 
x
Wenn von einem Punkt auf der Geraden nur die x-Koordinate bekannt ist, erhält man die y-Koordinate, indem man die x-Koordinate in den Funktionsterm einsetzt und den Wert des Funktionsterms berechnet. Das Ergebnis ist die y-Koordinate.

Wenn von einem Punkt auf der Geraden nur die y-Koordinate bekannt ist, erhält man die x-Koordinate, indem man den Funktionsterm gleich der y-Koordinate setzt und die entstehende Gleichung nach x auflöst. Das Ergebnis ist die x-Koordinate.
Beispiel
Die beiden Punkte liegen auf der Geraden. Berechne die fehlenden Werte.
Gerade:
 
y
=
3
·
x
1
Punkte:
P
 
2
 
|
 
?
Q
 
?
 
|
 
14
Sind zwei Geraden parallel, so besitzen sie die selbe Steigung.

Sind zwei Geraden senkrecht, so erfüllen ihre Steigungen die Gleichung m1 · m2 = -1.

Eine Besonderheit bilden waagrechte und senkrechte Geraden.
  • senkrechte Gerade werden durch die Gleichung "x = c" beschrieben
  • waagrechte Gerade werden durch die Gleichung "y = c" beschrieben.

Beachte, dass die Gleichung der senkrechten Gerade keine Funktionsgleichung ist und somit weder ein y-Achsenabschnitt noch eine Steigung angegeben werden kann. Das ist schon daran erkennbar, dass hier Punkte des Graphen "übereinander" liegen, was bei einer Funktion nicht vorkommen darf.

Beispiel
Gib für die eingezeichneten Geraden sowie für die x-und y-Achse eine Geradengleichung an:
graphik