08.5.1 Ableitung - Anwendungen - Tangentenprobleme, Verfahren von Newton

Bestimmung der Tangente an einer vorgegebenen Stelle des Graphen; Bestimmung des Berührpunkts der Tangente, die durch einen bestimmten Punkt geht; annähernde Bestimmung von Nullstellen mit dem Verfahren von Newton - Lehrplan

Hilfe
  • Sei T: y = mx + t die Tangente an Gf im Punkt P[x0|f(0)]. Dann gilt:

    m = f ´ (x0)

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Bestimme die Gleichung der Tangente T an den Graphen Gf...

  • ...im Punkt (4|?), wenn f
     
    x
    =
    x
     
    .
    y
    =
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Sei T: y = mx + t die Tangente an Gf im Punkt P[x0|f(0)]. Dann gilt:

m = f ´ (x0)

Beispiel 1
f
 
x
=
1
−
3x
2
+
5x
Bestimme die Tangente an Gf an der Stelle 
x
=
0,6.
Beispiel 2
f
 
x
=
x
3
+
2x
+
1
a) Bestimme die Tangente an Gf an der Stelle 
x
=
−
1.
b) Bestimme alle Tangenten an Gf, die parallel sind zu 
g: y
=
7
3
 
x
−
2.
Beispiel 3
Gegeben ist die Funktion f
 
x
=
2
x
 
x ≠ 0
 
.
Bestimme den Punkt Q des Graphen Gf, dessen Tangente durch
 
P
 
0
 
|
 
4
3
 
geht.
Mit dem Verfahren von Newton kann, wenn es klappt, die Nullstelle einer Funktion näherungsweise bestimmt werden. Man startet mit einem groben Näherungswert x0 und berechnet dann der Reihe nach immer bessere Näherungswerte x1, x2 usw. nach folgendem Rezept:

x1 = x0 − f (x0) / f ´(x0)

x2 = x1 − f (x1) / f ´(x1)

usw.

f (x) = sin(x) ⇒ f ´ (x) = cos(x)
f (x) = cos(x) ⇒ f ´ (x) = -sin(x)
Beispiel
f
 
x
=
−
2
 
sin
x
Bei welchen 
x ∈ [0; 2π[
 ist die Tangente des Graphen 
G
f
 parallel zur Gerade durch die Punkte (0|−1) und (1|-3)