Ableitung - Anwendungen - Monotonie und Extrema - Mathematikaufgaben

Bestimmung von Monotonieintervallen, relativen Extrema (Hoch- und Tiefpunkte). - gemäß Lehrplan für 10.-12. Klasse

Hilfe
  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
    Ist f in einer Umgebung von x0 differenzierbar und besitzt Gf an der Stelle x0 eine waagrechte Tangente, d.h. also f ´ (x0) = 0, so befindet sich dort entweder ein Hoch-, ein Tief- oder ein Terrassenpunkt. Was genau, verrät der Vorzeichenverlauf von f ´:
    • "−,0,+" bedeutet für Gf "fallend,waagrecht,steigend", also Tiefpunkt (relatives Minimum von f)
    • "+,0,−" bedeutet für Gf "steigend,waagrecht,fallend", also Hochpunkt (relatives Maximum von f)
    • "−,0,−" bedeutet für Gf "fallend,waagrecht,fallend", also Terrassenpunkt
    • "+,0,+" bedeutet für Gf "steigend,waagrecht,steigend", also ebenfalls Terrassenpunkt

Schließe aus der Vorzeichentabelle von f´ auf evtl. Hoch- Tief- und Terrassenpunkte von Gf.

  • x
    <
    −
    1
    <
    x
    <
    0
    <
    x
    f ' (x)
    −
    0
    −
    0
    +
    Bei x
    =
     
       
     
    -1   
     
    0    besitzt Gf einen Hochpunkt.
    Bei x
    =
     
       
     
    -1   
     
    0    besitzt Gf einen Tiefpunkt.
    Bei x
    =
     
       
     
    -1   
     
    0    besitzt Gf einen Terrassenpunkt.
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Checkos: 0 max.
Ist f in einer Umgebung von x0 differenzierbar und besitzt Gf an der Stelle x0 eine waagrechte Tangente, d.h. also f ´ (x0) = 0, so befindet sich dort entweder ein Hoch-, ein Tief- oder ein Terrassenpunkt. Was genau, verrät der Vorzeichenverlauf von f ´:
  • "−,0,+" bedeutet für Gf "fallend,waagrecht,steigend", also Tiefpunkt (relatives Minimum von f)
  • "+,0,−" bedeutet für Gf "steigend,waagrecht,fallend", also Hochpunkt (relatives Maximum von f)
  • "−,0,−" bedeutet für Gf "fallend,waagrecht,fallend", also Terrassenpunkt
  • "+,0,+" bedeutet für Gf "steigend,waagrecht,steigend", also ebenfalls Terrassenpunkt
Beispiel
Bestimme für die in ganz ℝ definierte ganzrationale Funktion f mit 
f
 
x
=
2x
3
−
3x
2
−
1
 sämtliche Extrempunkte mithilfe des Vorzeichwechselkriteriums der ersten Ableitung.

Die Ableitung f´ einer differenzierbaren Funktion f liefert für jede definierte Stelle x die lokale Änderungsrate (= Steigung des Graphen von f an dieser Stelle). Insbesondere zeigt das Vorzeichen von f ´ an, ob f im betrachteten Intervall zunimmt oder abnimmt:

f´(x) f bzw. Gf
> 0 streng monoton zunehmend bzw. wachsend
< 0 streng monoton abnehmend bzw. fallend
= 0 waagrechte Tangente
Beispiel
Bestimme die Monotonieintervalle der ganzrationalen Funktion f aufgrund der gegebenen ersten Ableitung.
f '
 
x
=
−
1
3
·
x
3
·
x
+
5

Nicht differenzierbar an der Stelle x0 kann z.B. bedeuten, dass der Graph einen Knick aufweist (blau) oder an der Stelle x0 überhaupt nicht definiert ist (rot), wie hier für x0 = -3 illustriert. Im Fall "blau" existieren aber die einseitigen Grenzwerte des Differenzialquotienten ("einseitige Tangentensteigungen"), nämlich 0 (linksseitig) und -3/2 (rechtsseitig).

Bestimmung der lokalen Maxima und Minima einer Funktion:

  1. Bestimme die Nullstellen der ersten Ableitung der Funktion.
  2. Überprüfe mithilfe des Vorzeichenwechsel-Kriteriums, ob im Graph ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt.

Randextrema:

Untersuche, ob an den Intervallgrenzen lokale Maxima oder Minima vorliegen. Bestimme dazu den Funktionswert an den Intervallgrenzen und überprüfe, ob die erste Ableitung an den Intervallgrenzen größer oder kleiner als Null ist:
  • linker Rand: f'(x)<0, Randmaximum
  • linker Rand: f'(x)>0, Randminimum
  • rechter Rand: f'(x)<0, Randminimum
  • rechter Rand: f'(x)>0, Randmaximum

Bestimmung des globalen Maximums und Minimums:

  1. Der größte Wert der lokalen Maxima und Randmaxima wird als globales Maximum bezeichnet.
  2. Der kleinste Wert der lokalen Minima und Randminima wird als globales Minimum bezeichnet.
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