06.2 Produktgleichungen (KK-BK-SG)

Gleichungen, die sich durch den Satz vom Nullprodukt lösen lassen. - Lehrplan

Hilfe
  • Faktorisiere zunächst den linken Term der Gleichung. Verwende den Satz vom Nullprodukt

Faktorisiere zunächst und löse dann die Produkgleichung. Gib die Lösungen samt ihrer Vielfachheit der Größe nach ein. Die kleinste zuerst. Falls die Gleichung weniger als drei Lösungen hat, gib jeweils ! ein.

  • 3
    ·
    x
    3
    −
    12x
    2
    +
    12x
    =
    0
    x
    1
    =
    (kleinste Lösung) mit Vielfachheit
    x
    2
    =
    mit Vielfachheit
    x
    3
    =
    mit Vielfachheit
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Der Satz vom Nullprodukt sagt:

Ein Produkt von zwei Zahlen ist genau dann null, wenn (mindetens) ein Faktor null ist.

In formalerer Schreibweise: Aus a·b = 0 folgt a = 0 und/oder b = 0 und umgekehrt.

Vielfachheit von Lösungen:

Die Gleichung (x − 1)2 = 0 hat nur die Lösung x = 1, da der Faktor (x − 1) aber zwei Mal auftritt, sagt man, dass x = 1 eine zweifache Lösung ist.

Entsprechend gibt es einfache, dreifache usw. Lösungen.

Beispiel
Löse die Gleichung.
x
−
1
·
3x
−
5
2
=
0