Bruchgleichungen (optional) - Matheaufgaben

Lösung mittels kreuzweiser Multiplikation/Multiplikation mit dem Hauptnenner/Mitternachtsformel; Lösung mittels Graf, Einschränkungen für x und Proberechnung; Textaufgaben - Lehrplan Baden-Württemberg, Gymnasium, 7. Klasse/8. Klasse

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  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
  • Bei einer Bruchgleichung kommt die Variable x auch im Nenner vor. Um zu verhindern, dass sich im Nenner die Zahl 0 ergibt, müssen evtl. bestimmte Werte für x ausgeschlossen werden.

Welche x-Werte dürfen ungeachtet der Gleichung für x nicht eingesetzt werden?

2x
−
4
1
+
x
=
x
−
1
5
−
2x
Nicht definiert ist:
x
=
2
x
=
−
1
x
=
1
x
=
2,5
  • Nebenrechung
Checkos: 0 max.

Bei einer Bruchgleichung kommt die Variable x auch im Nenner vor. Um zu verhindern, dass sich im Nenner die Zahl 0 ergibt, müssen evtl. bestimmte Werte für x ausgeschlossen werden.
Beispiel
3
x
−
1
=
5
−
x
2x
+
3

Bei einfachen Bruchgleichungen kommt man oft schon dadurch weiter, dass man auf beiden Seiten den Kehrwert bildet:

a / b = c / d      | Kehrwerte bilden

b / a = d / c

Beispiel
5
3x
−
2
=
1
4
Hat man für eine Bruchgleichung eine Lösung ermittelt, sollte man sie noch einmal überprüfen:
  1. Im Nenner darf sich nicht Null ergeben
  2. Eingesetzt in die Gleichung ergibt sich eine wahre Aussage (z.B. 3 = 3)
Um eine Bruchgleichung nennerfrei zu machen, kann man beide Seiten mit dem Produkt aller auftretenden Nennerterme multiplizieren. Evtl. hat man weniger Rechenaufwand, wenn man das kleinste gemeinsame Vielfache aller Nennerterme (statt des Produkts) verwendet.
Beispiel
5
+
7x
−
2
4x
−
6
=
2x
9
−
6x

Eine Lösungstechnik, die bei Bruchgleichungen der Art a / b = c / d immer weiterführt, ist das sogenannte Überkreuzmultiplizieren. Man multipliziert dabei den linken Zähler mit dem rechten Nenner und den rechten Zähler mit dem linken Nenner und setzt beide Produkte gleich.

Beispiel
Löse die Gleichung:
3x
−
1
2x
+
3
=
−
6x
2
−
4x

Bruchgleichungen vom einfachen Schema a/b = c/d löst man durch Überkreuzmultiplizieren und erhält damit als Zwischenschritt a·d = b·c.

Bei komplexeren Bruchgleichungen geht man im Prinzip genauso vor und multipliziert im ersten Schritt mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen aller vorkommenden Nennerterme (Hauptnenner). Dadurch fallen sämtliche Nenner aus der Gleichung raus.

Beispiel
Löse die Gleichung
2x
+
1
x
−
2
−
3
x
=
5
Die Lösunge(en) einer Bruchgleichung kann man aus einem Diagramm ablesen: Die Stellen (also die x-Koordinaten der Punkte), wo sich die Grafen von b1 und b2 schneiden, sind Lösung(en) der Gleichung b1(x) = b2(x).