Reelle Zahlen - Radizieren und Wurzelterme

(Teilweises) Wurzelziehen, Rechnen mit Wurzeltermen. - Lehrplan

Hilfe
  • Der Wert des Bruchs darf sich nicht verändern - erweitern und kürzen ist aber erlaubt. Der Nenner ist rational, wenn er nicht unendlich viele, nicht periodische Nachkommastellen hat.
  • Rationalmachen des Nenners bedeutet, einen Bruch so umzuformen, dass der Nenner wurzelfrei ist. Meistens erreicht man das durch Erweitern:
    • steht √a im Nenner, so erweitert man mit √a
    • steht √a + √b im Nenner, so erweitert man mit √a − √b (3. binomische Formel)

Lukas hat versucht den Nenner rational zu machen. Sieh dir seine Rechnung Zeile für Zeile an. In welcher Zeile hat er den ersten Fehler gemacht? Wähle die Zeile aus.

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Quadratwurzeln - Grundrechenarten, teilweise radizieren
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Quadratwurzeln - Grundrechenarten, teilweise radizieren

Kanal: Mathegym
Die Wurzel einer nicht negativen Zahl a ist diejenige nicht negative Zahl Zahl, die quadriert a ergibt, also

(√a)2 = a.

Die Zahl unter der Wurzel nennt man Radikand.

Laut dieser Definition gilt also: Weder der Radikand noch der Wert des Wurzelterms dürfen/können negativ sein!
Beispiel 1
3
6
25
=
81
25
=
9
5
2
=
9
5
Beispiel 2
0,0016
=
16
10000
=
4
100
2
=
4
100
=
0,04
Ein Produkt von Wurzeln lässt sich als Produkt unter einer Wurzel schreiben und umgekehrt. Sofern weder a noch b negativ sind, gilt also

√a · √b = √(a · b)

Ein Quotient von Wurzeln lässt sich als Quotient unter einer Wurzel schreiben und umgekehrt. Sofern weder a noch b negativ sind, gilt also

√a : √b = √(a : b)

Nach dem Distributivgesetz können gleiche Wurzeln (bzw. Vielfache davon) addiert und subtrahiert werden:

a√c + b√c = (a + b)√c

Achtung: √a + √b ≠ √(a+b)

Oft kann man teilweise die Wurzel ziehen. Sofern a nicht negativ ist, kann man den Faktor a² unabhängig vom Faktor b radizieren:

√(a² · b) = √(a²) · √b = a · √b

Beispiel 1
9
·
16
=
?
9
+
16
=
?
9
+
16
=
?
Beispiel 2
1
2
·
3
7
·
2
3
·
14
=
?
Beispiel 3
50
·
2
=
?
50
2
=
?
50
=
?
Beispiel 4
108
−
10
·
3
=
?
Beispiel 5
108
−
300
=
?
Nach dem Distributivgesetz können gleiche Wurzeln (bzw. Vielfache davon) addiert und subtrahiert werden:

a√c + b√c = (a + b)√c

Achtung: √a + √b ≠ √(a+b)
Beispiel
5
·
10
−
9
·
10
=
?
Distributivgesetz:

a · (b + c ) = a · b + a · c    ("Klammer ausmultiplizieren")

(a + b ) : c = a : c + b : c

Statt + kann man auch − einsetzen, d.h. das Distributivgesetz gilt für Summen wie auch für Differenzen, die mit einer Zahl multipliziert oder durch eine Zahl dividiert werden.

Beispiel
3
·
3
−
27
=
?
Ein Produkt von Wurzeln lässt sich als Produkt unter einer Wurzel schreiben und umgekehrt. Sofern weder a noch b negativ sind, gilt also

√a · √b = √(a · b)

Unter anderem ermöglicht diese Regel, Wurzeln teilweise zu radizieren. Sofern a nicht negativ ist, kann man den Faktor a² unabhängig vom Faktor b radizieren:

√(a² · b) = √(a²) · √b = a · √b

Beispiel 1
Radiziere teilweise:
720
=
?
Beispiel 2
Vereinfache:
3
 
45
·
18
=
?
Rationalmachen des Nenners bedeutet, einen Bruch so umzuformen, dass der Nenner wurzelfrei ist. Meistens erreicht man das durch Erweitern:
  • steht √a im Nenner, so erweitert man mit √a
  • steht √a + √b im Nenner, so erweitert man mit √a − √b (3. binomische Formel)