Hilfe
  • Stelle eine Gleichung mit den x-Koordinaten und eine mit den y-Koordinaten auf. Löse beide Gleichungen nach k auf. Hat k jeweils den gleichen Wert (k ist eindeutig) sind die Vektoren parallel zueinander.
  • Streckt man einen Vektor durch zentrische Streckung mit dem Streckungsfaktor k, dann erhält man die Koordinaten des Bildvektors, indem man die Koordinaten des Urvektors jeweils mit k multipliziert. Es gilt:
    • Der Bildvektor ist |k|-mal so lang wie der Urvektor
    • k>0: Ur- und Bildvektor haben die gleiche Richtung
    • k<0: Ur- und Bildvektor haben gegensätzliche Richtungen
    • Bild- und Urvektor sind immer parallel zueinander (oder identisch)
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Prüfe, ob die Vektoren parallel zueinander sind. Ergänze dann den Lückentext.

  • u
    =
    2
    3
    v
    =
    2
    3
    Die Vektoren 
    u
     und 
    v
     sind weil k ist. 
    u
     und 
    v
     haben Richtung(en), weil k ist.
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Streckt man einen Vektor durch zentrische Streckung mit dem Streckungsfaktor k, dann erhält man die Koordinaten des Bildvektors, indem man die Koordinaten des Urvektors jeweils mit k multipliziert. Es gilt:
  • Der Bildvektor ist |k|-mal so lang wie der Urvektor
  • k>0: Ur- und Bildvektor haben die gleiche Richtung
  • k<0: Ur- und Bildvektor haben gegensätzliche Richtungen
  • Bild- und Urvektor sind immer parallel zueinander (oder identisch)
Beispiel
AB
=
2
1
 soll mit
a) 
k
=
0,5
b) 
k
=
2
 
zentrisch gestreckt werden. Bestimme jeweils den Bildvektor 
A'B'
 und beschreibe sein Aussehen im Vergleich zum Urvektor.
Zentrische Streckung mit Zentrum Z: Um den Streckungsfaktor k, den Punkt P oder den Bildpunkt P' zu ermitteln, gehst du im Prinzip immer gleich vor:
  • Bilde den Verbindungsvektor von Z und P', ebenso den von Z und P
  • Der erste Vektor ist gleich "k mal" der zweite (Gleichung)
  • Die Vektorgleichung kann jetzt in zwei Gleichungen aufgespaltet werden
  • Schließlich kann nach k oder den gesuchten Koordinaten aufgelöst werden
Beispiel 1
Beispiel Bildpunkt:
Z(-1|1)
k
=
4
, P(2|-3), bestimme den Bildpunkt P'(x'|y').
Beispiel 2
Beispiel Urpunkt:
Z(-3|1)
k
=
2
, P'(5|-4), bestimme den Urpunkt P(x|y).
Beispiel 3
Beispiel Streckungsfaktor:
Z(2|4), P(1|1), P'(5|13) bestimme den Streckungsfaktor 
k
.
Mit dem Parameterverfahren Geraden und Parabeln zentrisch strecken:
  • Lautet die Geradengleichung z.B. y = 2x + 3, so haben alle Punkte P auf g die Koordinaten P(x|2x+3)
  • Bestimme jetzt P'(x'|y') mit derselben Methode, mit der sich Bildpunkte bei gegebenem Urpunkt bestimmen lassen.
  • Nach dem Lösen des Gleichungssystems erhältst du eine Gleichung der Art y'=...x'..., das ist die Gleichung der Bildgeraden.
Beispiel 1
Die Gerade 
g: y
=
2x
+
1
 soll zentrisch gestreckt werden mit Z(5|5) und 
k
=
0,5
. Wie lautet die Gleichung der Bildgeraden 
g'
?
Beispiel 2
Die Parabel 
p: y
=
x
2
1
 soll zentrisch gestreckt werden mit Z(1|1) und 
k
=
2
. Wie lautet die Gleichung der Bildparabel 
p'
?