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Zentrische Streckung - Schwerpunkt, Ähnlichkeit - Matheaufgaben
Schwerpunkt von Dreiecken zeichnerisch und rechnerisch bestimmen, Ähnlichkeit von Figuren überprüfen. - Lehrplan
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Bestimme zunächst die drei Ortsvektoren der Dreieckspunkte. Rechne die drei Ortsvektoren dann zusammen und multipliziere die Vektorsumme mit 1/3.
Berechne die Koordinaten des Schwerpunkts S des Dreiecks ABC mithilfe von Vektoren.
Zwischenschritte aktivieren
A(-8,1|12)
AB
=
13,1
−
11
AC
=
8,2
−
16
S(
|
)
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Stoff zum Thema
Zwei Figuren sind ähnlich, wenn sie in den jeweils entsprechenden Winkeln und allen Seitenverhältnissen entsprechender Seiten übereinstimmen. Dieses Verhältnis wird als Streckungsfaktor (oder Ähnlichkeitsfaktor) k bezeichnet; k drückt aus, wie lang die Seiten in Figur 2 im Vergleich zu den entsprechenden Seiten in Figur 1 sind. Z.B. bedeutet k=0,5, dass Figur 2 längenmäßig halb so groß wie Figur 1 ist.
Kennt man k, so kann man zu jeder Seitenlänge in Figur 1 durch Multiplikation mit k die entsprechende Seitenlänge in Figur 2 angeben.
Kennt man die Längen von zwei sich entsprechenden Seiten in Figur 1 und Figur 2, so kann man k durch Division der Seitenlängen "Figur 2 : Figur 1" bestimmen.
Beispiel
Die beiden Figuren sind ähnlich. Berechne die fehlenden Seitenlängen und gib die fehlenden Winkel an (Abbildungen nicht maßstabsgetreu).
a
=
?
β
=
?
γ
=
?
b'
=
?
α
'
=
?
β
'
=
?
Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Punkt, in dem sich alle drei Seitenhalbierenden schneiden.
Teilverhältnis
Eine Strecke von A nach B wird von einem Punkt T der Strecke geteilt. Der Quotient aus der Länge der Strecke von A nach T und der Länge der Strecke von T nach B nennt man das zugehörige Teilverhältnis.
Beispiel
Der Punkt T liegt auf
AB
und teilt diese im Verhältnis
3 : 7
von A aus gesehen. Wie lauten die Koordinaten von T, wenn gilt:
A(1|2),
B(9|8)
?
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