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Trigonometrie - Sinus und Kosinus am Einheitskreis
Betrachtungen am Einheitskreis, einfache Sinus- und Kosinusfunktion, einfache trigonometrische Gleichungen - Lehrplan G9 (5.-11. Klasse)
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Hilfe speziell zu dieser Aufgabe
Die Beträge der einzugebenden Zahlen ergeben in der Summe 180.
Eine Lösung solltest du ohne Taschenrechner ermitteln können. Die andere erhältst du durch symmetrische Überlegungen.
Beispielaufgabe
+Video
Sei P der Punkt des Einheitskreises, der dem Winkel α zugeordnet ist.
Winkel
Spiegelung von P
Vorzeichenänderung
Formeln
−α bzw.
360° − α
an der x-Achse
nur sin
sin(α) = − sin(360° − α)
cos(α) = cos(360° − α)
180° − α
an der y-Achse
nur cos
sin(α) = sin(180° − α)
cos(α) = − cos(180° − α)
α ± 180°
am Ursprung
sin und cos
sin(α) = − sin(α ± 180°)
cos(α) = − cos(α ± 180°)
α ± 360°
P verändert sich nicht
sin(α) = sin(α ± 360°)
cos(α) = cos(α ± 360°)
TIPP
Beispiel-Aufgabe:
Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu dieser Aufgabe" unterhalb der Aufgabe.
Gib alle Lösungen im Intervall [0°;360°] an.
Zwischenschritte aktivieren
sin
α
=
0,5
α
1
=
°
α
2
=
°
Notizfeld
Notizfeld
Tastatur
Tastatur für Sonderzeichen
+
-
*
:
/
√
^
∞
<
>
!
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Stoff zum Thema (+Video)
Jedem Winkel α lässt sich auf dem Einheitskreis genau ein Punkt P(x|y) zuordnen. Der Winkel wird dabei von der positiven x-Achse aus entgegen dem Uhrzeigersinn gedreht. Man definiert:
cos(α) = x und sin(α) = y
Sinus- und Kosinuswerte können also als Koordinaten von Punkten des Einheitskreises aufgefasst werden.
Beispiel 1
Ermittle anhand des Einheitskreises:
sin
450°
=
?
cos
360°
=
?
Beispiel 2
Mit welchen der folgenden vier Werte stimmt
cos
31°
überein? Entscheide anhand des Einheitskreises.
−
cos
−
31°
cos
149°
−
cos
211°
cos
121°
Sei P der Punkt des Einheitskreises, der dem Winkel α zugeordnet ist.
Winkel
Spiegelung von P
Vorzeichenänderung
Formeln
−α bzw.
360° − α
an der x-Achse
nur sin
sin(α) = − sin(360° − α)
cos(α) = cos(360° − α)
180° − α
an der y-Achse
nur cos
sin(α) = sin(180° − α)
cos(α) = − cos(180° − α)
α ± 180°
am Ursprung
sin und cos
sin(α) = − sin(α ± 180°)
cos(α) = − cos(α ± 180°)
α ± 360°
P verändert sich nicht
sin(α) = sin(α ± 360°)
cos(α) = cos(α ± 360°)
Beispiel 1
Führe sin(139°) auf einen Winkel im Intervall [180° ; 270°] zurück.
Beispiel 2
Führe cos(2314°) auf einen Winkel zwischen 0° und 90° zurück:
Beispiel 3
Gib alle Lösungen im Intervall [0°;360°] an.
sin
x
=
0,7
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