2.1 Differenzenquotient - mittlere Änderungsrate - Aufgaben

Hinweis: In den Videos werden die mittlere und die momentane Änderungsrate behandelt. Die momentane Änderungsrate heißt im Video 'lokale Änderungsrate'. - Lehrwerk Lambacher Schweizer

Hilfe
  • Die mittlere Änderungsrate einer Funktion f im Intervall [a; b] ergibt sich durch

    [ f(b) − f(a) ] / ( b − a)

    Aufgrund seiner Struktur nennt man diesen Term auch Differenzenquotient.
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Gegeben ist die Funktion f. Bestimme jeweils mit Hilfe des Differenzenquotienten die mittlere Änderungsrate im gegebenen Intervall. Ergebnis(se) falls erforderlich auf die 4. Dezimalstelle gerundet eingeben!

  • f(x)
    =
    3x
    2
    −
    4x
    +
    1
    Intervall [0;10]
    Mittlere Änderungsrate:
     
    Intervall [9;10]
    Mittlere Änderungsrate:
     
    Intervall: [9,9;10]
    Mittlere Änderungsrate:
     
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
    Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
Mittlere und lokale Änderungsrate - Teil 1
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Mittlere und lokale Änderungsrate - Teil 1

Kanal: Mathegym
Mittlere+lokale Änderungsrate - Teil 2
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Kanal: Mathegym
Mittlere+lokale Änderungsrate - Teil 3
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Mittlere+lokale Änderungsrate - Teil 3

Kanal: Mathegym
Die mittlere Änderungsrate einer Funktion f im Intervall [a; b] ergibt sich durch

[ f(b) − f(a) ] / ( b − a)

Aufgrund seiner Struktur nennt man diesen Term auch Differenzenquotient.
Beispiel
(1) Maximilian war Ende Januar 1,35 m groß und Ende Juni 1,37 m. Wie groß ist in diesem Zeitraum die durchschnittliche Änderungsrate?
(2) Wie groß ist die durchschnittliche Änderungsrate der Normalparabel mit Scheitel im Ursprung im Intervall [3;7]?
Graphisch lässt sich die mittlere Änderungsrate im Intervall [a; b] als Steigung der Geraden (Sekante) durch die entsprechenden Punkte des Graphen veranschaulichen.

Die lokale Änderungsrate an der Stelle x = a ist folglich die Steigung der Geraden (Tangente), die den Graph im entsprechenden Punkt berührt. Man stelle sich zum besseren Verständnis ein winziges Intervall [a; b] und die zugehörige Sekante vor. Lässt man das Intervall weiter schrumpfen, also b gegen a gehen, wird aus der Sekante eine Tangente.

Beispiel
Schätze die mittlere Änderungsrate im angegebenen Intervall bzw. die lokale Änderungsrate an der gegebenen Stelle ab.
graphik
Intervall [-1; 5]:       
 
m
 
≈ ?
Stelle x
0
=
4:       
 
m ≈ ?