5.5 Geraden durch zwei Punkte - Aufgaben

Lineare Funktionen - Lehrwerk Fundamente der Mathematik (5.-9. Klasse)

Hilfe
  • Ist eine Gerade g durch zwei Punkte A(x1|y1) und B(x2|y2) gegeben, so kann man ihre Steigung m so berechnen:
    1. Berechne die Differenz der y-Werte beider Punkte, also Δy = y2 − y1.
    2. Berechne ebenso die Differenz der x-Werte beider Punkte, also Δx = x2 − x1.
    3. Der Bruch Δy / Δx ergibt die Steigung m.
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Berechne die Steigung m der Geraden g, die durch die folgenden zwei Punkte verläuft.

  • A(3|-5) und B(7|1,5)
    m
    =
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Ist eine Gerade g durch zwei Punkte A(x1|y1) und B(x2|y2) gegeben, so kann man ihre Steigung m so berechnen:
  1. Berechne die Differenz der y-Werte beider Punkte, also Δy = y2 − y1.
  2. Berechne ebenso die Differenz der x-Werte beider Punkte, also Δx = x2 − x1.
  3. Der Bruch Δy / Δx ergibt die Steigung m.
Beispiel
Ermittle die Steigung der Gerade, die durch die Punkte (-1,5 | 2,5) und (0 | -3) geht.
Ist eine Gerade g durch ihre Steigung m und einen beliebigen Punkt P ∈ g gegeben, so kann man den y-Achsenabschnitt b leicht bestimmen:
  1. Ausgangspunkt ist die Geradengleichung y = m·x + b (für m setze die bekannte Steigung ein).
  2. Setze dann den Punkt P ein, d.h. ersetze x und y durch die Koordinaten von P.
  3. Löse schließlich die Gleichung nach dem gesuchten b auf.
Beispiel
Wo schneidet die Gerade, die durch 
m
=
−
1,6
 und P(2|−0,5) gegeben ist, die y-Achse?
Ist eine Gerade g durch ihren y-Achsenabschnitt b und einen beliebigen Punkt P ∈ g gegeben, so kann man die Steigung m leicht bestimmen:
  1. Ausgangspunkt ist die Geradengleichung y = m·x + b (für b setze den bekannten y-Achsenabschnitt ein).
  2. Setze dann den Punkt P ein, d.h. ersetze x und y durch die Koordinaten von P.
  3. Löse schließlich die Gleichung nach dem gesuchten m auf.
Beispiel
Welche Steigung hat die Gerade, deren Achsenabschnitt b = 2,5 ist und die durch den Punkt P(2 | -0,5) verläuft?
Wie lautet die Geradengleichung?
Ist eine Gerade durch zwei Punkte gegeben, so geht man wie folgt vor, um ihre Gleichung, sprich m und b, zu ermitteln:
  1. Bestimme zunächst die Steigung m = Δy / Δx .
  2. Setze dann in die Gleichung y = m·x + b die Koordinaten von einem der beiden Punkte ein und löse die Gleichung nach b auf.
Beispiel
Ermittle die Gleichung der Geraden g, die durch die Punkte P1(−3|2) und P2(5|−4) geht.
Wenn von einem Punkt auf der Geraden nur die x-Koordinate bekannt ist, erhält man die y-Koordinate, indem man die x-Koordinate in den Funktionsterm einsetzt und den Wert des Funktionsterms berechnet. Das Ergebnis ist die y-Koordinate.

Wenn von einem Punkt auf der Geraden nur die y-Koordinate bekannt ist, erhält man die x-Koordinate, indem man den Funktionsterm gleich der y-Koordinate setzt und die entstehende Gleichung nach x auflöst. Das Ergebnis ist die x-Koordinate.
Beispiel
Die beiden Punkte liegen auf der Geraden. Berechne die fehlenden Werte.
Gerade:
 
y
=
3
·
x
−
1
Punkte:
P
 
−
2
 
|
 
?
Q
 
?
 
|
 
14
Um zu überprüfen, ob ein Punkt P(x | y) auf der Geraden liegt, setzt man den x-Wert in den Funktionsterm ein und berechnet den Termwert. Ist das Ergebnis der y-Wert des Punktes, dann liegt der Punkt auf der Geraden.
Beispiel
Liegt der Punkt P auf der Geraden g?
Gerade:
 
y
=
2
·
x
+
5
Punkt:
 
P
 
3
 
|
 
10
Um zu überprüfen, ob ein Punkt (a|b) über, auf oder unter dem Graphen einer Funktion liegt, setzt man a in den Funktionsterm f(x) ein. Der Punkt liegt
  • über dem Graphen, wenn b > f(a)
  • auf dem Graphen, wenn b = f(a)
  • unter dem Graphen, wenn b < f(a)
Beispiel
g: 
y
=
−
1
3
 
x
+
2
3
;        
A
 
2
 
|
 
0
;   
B
 
−
4
 
|
 
2,5
;   
C
 
8
 
|
 
−
3
Gib jeweils an, ob der der Punkt über, auf oder unter der Geraden liegt.
Liegen drei Punkte auf einer Geraden?

Sind drei Punkte A(xA|yA), B(xB|yB) und C(xC|yC) gegeben, dann stelle eine Geradengleichung durch zwei Punkte, etwa A und B auf:
  1. Berechne Δy = yB − yA und Δx = xB − xA
  2. Berechne Steigung m = Δy/Δx
  3. Berechne y-Achsenabschnitt b = yA − m⋅xA
Setze m und b in die allgemeine Geradengleichung ein:
y = m⋅x + b
Setze dann Punkt C ein:
yC = m⋅xC + b

Erhältst du rechts und links vom Gleichheitszeichen die gleiche Zahl, liegen die drei Punkte auf einer Geraden, ansonsten nicht.
Beispiel
Liegen die drei Punkte auf einer Geraden?
A(1|2), B(3|8) und C(4|9)