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Geometrische Orte - Randwinkelsatz - Mathematikaufgaben
Kenntnis des Randwinkelsatzes und Konstruktion des Fasskreisbogen (-paars). Bestimmung von Rand- und Mittelpunktswinkel - gemäß Lehrplan für 10. Klasse
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Allgemeine Hilfe zu diesem Level
Ein Kreis wird durch eine Sehne a in zwei Bögen unterteilt. Man betrachte den größeren der beiden Bögen (falls gleichgroß: einen der beiden Halbkreise):
Von jedem Punkt des sogenannten
Fasskreisbogens
erscheint die Sehne unter demselben Winkel γ (
Randwinkel
oder
Umfangswinkel
).
Vom Kreismittelpunkt aus erscheint die Sehne dagegen unter dem Winkel µ = 2γ, d.h. der
Mittelpunktswinkel
ist immer doppelt so groß wie der Umfangswinkel.
Durch Spiegelung an a erhält man den zweiten Fasskreisbogen (zweites Bild). Das Fasskreisbogenpaar (die Sehnenendpunkte gehören nicht dazu) ist also der geometrische Ort aller Punkte, von denen aus a unter demselben Winkel erscheint.
Im Spezialfall a = Durchmesser (s.o.) ergänzen sich die Fasskreisbögen (Halbkreise) zum Thaleskreis, der Randwinkel beträgt also hier stets 90°.
Richtig oder falsch?
Wenn der Mittelpunktswinkel 80° beträgt, hat der Randwinkel über der gleichen Sehne das Maß 40°.
richtig
falsch
Es gibt keinen Randwinkel, der das Maß 90° besitzt.
richtig
falsch
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Ein Kreis wird durch eine Sehne a in zwei Bögen unterteilt. Man betrachte den größeren der beiden Bögen (falls gleichgroß: einen der beiden Halbkreise):
Von jedem Punkt des sogenannten
Fasskreisbogens
erscheint die Sehne unter demselben Winkel γ (
Randwinkel
oder
Umfangswinkel
).
Vom Kreismittelpunkt aus erscheint die Sehne dagegen unter dem Winkel µ = 2γ, d.h. der
Mittelpunktswinkel
ist immer doppelt so groß wie der Umfangswinkel.
Durch Spiegelung an a erhält man den zweiten Fasskreisbogen (zweites Bild). Das Fasskreisbogenpaar (die Sehnenendpunkte gehören nicht dazu) ist also der geometrische Ort aller Punkte, von denen aus a unter demselben Winkel erscheint.
Im Spezialfall a = Durchmesser (s.o.) ergänzen sich die Fasskreisbögen (Halbkreise) zum Thaleskreis, der Randwinkel beträgt also hier stets 90°.
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