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2.4 Funktionsgleichungen bestimmen - Einstiegsaufgaben - Aufgaben
Lineare Funktionen - Lehrwerk Lambacher Schweizer (5.-9. Klasse)
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Beispielaufgabe
Ist eine Gerade g durch zwei Punkte A(x
1
|y
1
) und B(x
2
|y
2
) gegeben, so kann man ihre Steigung m so berechnen:
Berechne die Differenz der y-Werte beider Punkte, also Δy = y
2
− y
1
.
Berechne ebenso die Differenz der x-Werte beider Punkte, also Δx = x
2
− x
1
.
Der Bruch Δy / Δx ergibt die Steigung m.
TIPP
Beispiel-Aufgabe:
Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.
Berechne die Steigung m der Geraden g, die durch die folgenden zwei Punkte verläuft.
A(3|-5) und B(7|1,5)
m
=
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Stoff zum Thema (+Video)
Lernvideo
Lineare Funktionen - Graph und Funktionsterm
Kanal: Mathegym
Ist eine Gerade g durch zwei Punkte A(x
1
|y
1
) und B(x
2
|y
2
) gegeben, so kann man ihre Steigung m so berechnen:
Berechne die Differenz der y-Werte beider Punkte, also Δy = y
2
− y
1
.
Berechne ebenso die Differenz der x-Werte beider Punkte, also Δx = x
2
− x
1
.
Der Bruch Δy / Δx ergibt die Steigung m.
Beispiel
Ermittle die Steigung der Gerade, die durch die Punkte (-1,5 | 2,5) und (0 | -3) geht.
Ist eine Gerade g durch ihre Steigung m und einen beliebigen Punkt P ∈ g gegeben, so kann man den y-Achsenabschnitt b leicht bestimmen:
Ausgangspunkt ist die Geradengleichung y = m·x + b (für m setze die bekannte Steigung ein).
Setze dann den Punkt P ein, d.h. ersetze x und y durch die Koordinaten von P.
Löse schließlich die Gleichung nach dem gesuchten b auf.
Beispiel
Wo schneidet die Gerade, die durch
m
=
−
1,6
und P(2|−0,5) gegeben ist, die y-Achse?
Ist eine Gerade g durch ihren y-Achsenabschnitt b und einen beliebigen Punkt P ∈ g gegeben, so kann man die Steigung m leicht bestimmen:
Ausgangspunkt ist die Geradengleichung y = m·x + b (für b setze den bekannten y-Achsenabschnitt ein).
Setze dann den Punkt P ein, d.h. ersetze x und y durch die Koordinaten von P.
Löse schließlich die Gleichung nach dem gesuchten m auf.
Beispiel
Welche Steigung hat die Gerade, deren Achsenabschnitt b = 2,5 ist und die durch den Punkt P(2 | -0,5) verläuft?
Wie lautet die Geradengleichung?
Ist eine Gerade durch zwei Punkte gegeben, so geht man wie folgt vor, um ihre Gleichung, sprich m und b, zu ermitteln:
Bestimme zunächst die Steigung m = Δy / Δx .
Setze dann in die Gleichung y = m·x + b die Koordinaten von einem der beiden Punkte ein und löse die Gleichung nach b auf.
Beispiel
Ermittle die Gleichung der Geraden g, die durch die Punkte P
1
(−3|2) und P
2
(5|−4) geht.
Wenn von einem Punkt auf der Geraden nur die x-Koordinate bekannt ist, erhält man die y-Koordinate, indem man die x-Koordinate in den Funktionsterm einsetzt und den Wert des Funktionsterms berechnet. Das Ergebnis ist die y-Koordinate.
Wenn von einem Punkt auf der Geraden nur die y-Koordinate bekannt ist, erhält man die x-Koordinate, indem man den Funktionsterm gleich der y-Koordinate setzt und die entstehende Gleichung nach x auflöst. Das Ergebnis ist die x-Koordinate.
Beispiel
Die beiden Punkte liegen auf der Geraden. Berechne die fehlenden Werte.
Gerade:
y
=
3
·
x
−
1
Punkte:
P
−
2
|
?
Q
?
|
14
Um zu überprüfen, ob ein Punkt P(x | y) auf der Geraden liegt, setzt man den x-Wert in den Funktionsterm ein und berechnet den Termwert. Ist das Ergebnis der y-Wert des Punktes, dann liegt der Punkt auf der Geraden.
Beispiel
Liegt der Punkt P auf der Geraden g?
Gerade:
y
=
2
·
x
+
5
Punkt:
P
3
|
10
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