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Hilfe
  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
    x muss alleine auf einer Seite stehen.
  • Bei Gleichungen der Form a + x = b und x + a = b muss man auf beiden Seiten a subtrahieren.

    Bei Gleichungen der Form x − a = b muss man auf beiden Seiten a addieren.

Welche Äquivalenzumformung führt zum Ziel? Kreuze ein Rechenzeichen, eine Zahl sowie die richtige Lösung an.

x
+
7
=
15
?
+
 
     
 
 
     
 
·
 
     
 
:
15
 
     
 
7
Lösung: x =
22
 
    
 
8
 
    
 
105
 
    
 
2
  • Nebenrechnung
Lernvideo
Lineare Gleichungen (Teil 1)
Lernvideo
Lineare Gleichungen (Teil 2)

Bei Gleichungen der Form a + x = b und x + a = b muss man auf beiden Seiten a subtrahieren.

Bei Gleichungen der Form x − a = b muss man auf beiden Seiten a addieren.

Beispiel
17
+
x
=
26
17
x
=
9
- - - - - - - - - - - - - - - - - - -
x
17
=
26
+
17
x
=
43

Bei Gleichungen der Form a · x = b muss man auf beiden Seiten durch a dividieren.

Bei Gleichungen der Form x : a =b muss man beide Seiten mit a multiplizieren.

Beispiel
8
·
x
=
24
:
8
x
=
3
- - - - - - - - - - - - - - - - - - -
x
:
8
=
24
·
8
x
=
192
Bei Gleichungen der Form a · x + b = c müssen immer erst die Strichbindungen gelöst werden. Die Punktbindungen sind die engeren Bindungen und bleiben länger bestehen.
Beispiel
Löse die Gleichung
4
·
x
+
9
=
25
Unterscheide:
  • Bei a · x = b muss man (links und rechts) durch a dividieren, um x zu erhalten
  • Bei x : a = b muss man (links und rechts) mit a multiplizieren, um x zu erhalten
  • Bei x + a = b muss man (links und rechts) a subtrahieren, um x zu erhalten
  • Bei x − a = b muss man (links und rechts) a addieren, um x zu erhalten
  • Bei a − x = b muss man (links und rechts) x addieren und b subtrahieren, um x zu erhalten
Beispiel
Löse die Gleichungen
8x
=
3
 
   und   
 
8
y
=
3
Fachbegriffe:
  • Addition - addieren - Summe - 1. Summand - 2. Summand
  • Subtraktion - subtrahieren - Differenz - Minuend - Subtrahend
  • Multiplikation - multiplizieren - Produkt - 1. Faktor - 2. Faktor
  • Division - dividieren - Quotient - Dividend - Divisor

Wird zu einer Gleichung eine Grundmenge G angegeben, so muss die gesuchte Lösung in dieser Grundmenge enthalten sein - ansonsten gibt es keine Lösung. Die Lösungsmenge L enthält alle Lösungen der Gleichung. Gibt es keine Lösung, so ist sie leer.

Beispiele:
  • Die Gleichung 2x=7 über der Grundmenge G=Q (rationale Zahlen, also alle Brüche) hat die Lösung x = 3,5; man schreibt also L={3,5}.
  • Die selbe Gleichung über der Grundmenge G=N hat dagegen KEINE Lösung, weil 3,5 keine natürliche Zahl ist; man schreibt dann also L={ }.
Bei Gleichungen der Form

ax + b = cx + d

kommst du weiter, in dem du z.B. "cx nach links" und "b nach rechts" bringst:

ax − cx = d − b

Dadurch sind die x-Vielfachen auf der einen Seite, die andere Seite ist x-frei.
Gehe bei umfangreicheren linearen Gleichungen nach folgendem Schema vor
  1. rechte und linke Seite so weit wie möglich vereinfachen
  2. durch Addition und Subtraktion die Gleichung in die Form ax = b bringen, d.h. zunächst alle x-Vielfachen auf die eine Seite, die andere Seite x-frei
  3. zuletzt durch a teilen
Beispiel
Löse die Gleichung
16
3
·
2,5
3x
=
5
+
6x
Beispiel
Gegeben ist eine zweistellige Zahl, deren Zehnerziffer um zwei kleiner als die Einerziffer ist. Vertauscht man beide Ziffern, so erhält man eine zweite Zahl. Multipliziert man die erste Zahl mit acht und subtrahiert davon sechs, so erhält man das Sechsfache der zweiten Zahl. Wie heißt die ursprüngliche Zahl? Löse mit Hilfe einer Gleichung!