BMT 10 - 2006 - Aufgaben

Bayerischer Mathematiktest für Gymnasien, 10. Jahrgangsstufe, Schuljahr 2006/2007; prüft Basiswissen bis einschließlich Klasse 9 - BMT- und Abituraufgaben

Hilfe
  • Sind zwei Punkte P und P´ punktsymmetrisch bzgl. eines Zentrums Z, so wird ihre Verbindungsstrecke von Z halbiert.
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Aufgabe 2a (1 Punkt)

  • Im Koordinatensystem (Einheit 1cm) sind die Punkte A(2|3), B(10|3) und ein weiterer Punkt C gegeben. Der Punkt C´ entsteht durch Punktspiegelung von C am Mittelpunkt M der Strecke [AB].
    Zeichnen Sie für C(5|5) den Punkt C´ in das Koordinatensystem ein.
    graphik
    Die Koordinaten lauten C´
     
    ;
    Quelle: Bayerischer Mathematiktest, Klasse 10, 2006
    GeoGebra
    GeoGebra
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
    Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
keine Berechtigung
Für diese Aufgabe steht dir GeoGebra zur Verfügung. Damit kannst du Konstruktionen direkt am Bildschirm durchführen.
  • Der Punkt C´ entsteht durch Punktspiegelung von C(5|5) am Mittelpunkt M der Strecke [AB].
  • Wenn du mit der Konstruktion fertig bist, scrolle zurück nach oben und gib bei der Aufgabe das passende Ergebnis ein.
Zum Ändern der Größe gestrichelte Linie ziehen
Sind zwei Punkte P und P´ punktsymmetrisch bzgl. eines Zentrums Z, so wird ihre Verbindungsstrecke von Z halbiert.
Beispiel
Der Punkt P soll am Zentrum Z gespiegelt werden.
graphik
Ein Dreieck mit den Seitenlängen a, b und c
und den zugehörigen Höhen ha, hb und hc hat
  • den Umfang U = a + b + c
  • den Flächeninhalt A = ½ · a · ha = ½ · b · hb = ½ · c · hc

Achte bei der Rechnung darauf, dass alle Größen in derselben Einheit angegeben sind (evtl. umwandeln!)

Viereck Definition achsen-
sym.
im Allg.		 punkt-
sym.
im Allg.		 Spezialfälle
achsen-
symmetrisches
Trapez		 Mittelsenkrechte von zwei gegenüberliegenden Seiten als Symmetrieachse ja nein Rechteck (Quadrat)
Drachen Diagonale als Symmetrieachse ja nein Raute (Quadrat)
Parallelogramm gegenüberliegende Seiten parallel nein ja Rechteck, Raute (Quadrat)
Rechteck alle Winkel 90° ja ja Quadrat
Raute alle vier Seiten gleich lang ja ja Quadrat
Quadrat Rechteck mit vier gleich langen Seiten ja ja

Die Lösungen der quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 könnnen, falls vorhanden, immer mit der sog. Mitternachtsformel (MNF) bestimmt werden. Zunächst berechnet man die sog. Diskriminante:

D = b² − 4ac

Je nachdem, ob D positiv, null oder negativ ist, gibt es genau zwei, genau eine oder gar keine Lösung. Abgesehen vom letzten Fall heißt/heißen die Lösung(en):

x1,2 = (−b ± √D) : 2a

Wenn zwei sich schneidende Geraden von zwei Parallelen geschnitten werden, spricht man von einer V-Figur, wenn sie wie folgt aussieht:

Es gelten die Strahlensätze (e und f parallel):

1. Strahlensatz
Abschnitte der beiden Strahlen werden zueinander in Beziehung gesetzt:
a : g = c : h
a : b = c : d

2. Strahlensatz
Seitenlängen des kleinen und des großen Dreiecks werden zueinander in Beziehung gesetzt:
a : g = e : f
c : h = e : f

Ein Produkt von Wurzeln lässt sich als Produkt unter einer Wurzel schreiben und umgekehrt. Sofern weder a noch b negativ sind, gilt also

√a · √b = √(a · b)

Unter anderem ermöglicht diese Regel, Wurzeln teilweise zu radizieren. Sofern a nicht negativ ist, kann man den Faktor a² unabhängig vom Faktor b radizieren:

√(a² · b) = √(a²) · √b = a · √b

Beispiel
Radiziere teilweise:
720
=
?
Die Grundgleichung der Prozentrechnung lautet:

PS · GW = PW

PS = Prozentsatz
GW = Grundwert
PW = Prozentwert

Eine lineare Funktion mit der Gleichung y = m·x + t ergibt graphisch immer eine Gerade. Dabei ist m die Steigung (zeigt an, wie stark die Gerade steigt oder fällt) und t der y-Achsenabschnitt (zeigt an, wo die Gerade die y-Achse schneidet) der Gerade.

  • Ist m positiv, so steigt die Gerade (von links nach rechts)
  • Ist m negativ, so fällt die Gerade (von links nach rechts)
  • Ist m = 0, so verläuft die Gerade parallel zur x-Achse

Die drei Binomischen Formeln (BF) lauten:

  1. (a + b)² = a² + 2ab + b²
  2. (a − b)² = a² − 2ab + b²
  3. (a + b) (a − b) = a² − b²
In dieser Richtung (links mit Klammer, rechts ohne) dienen die Formeln dazu, Klammern schneller auszumultiplizieren. Ohne Kenntnis der BF müsste man die Klammern auf herkömmlich Art ("jeder mit jedem") ausmultiplizieren.