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  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
  • a2 = a · a.

Berechne ohne Taschenrechner (Brüche in der Form a/b).
Hinweis: Diese Aufgaben sind eine Wiederholung der Quadratzahlen als Vorübung für das Rechnen mit Wurzeln.

16
2
=
7
2
=
40
2
=
0,5
2
=
  • Nebenrechnung

a2 = a · a.

Beispiel
Berechne:
5
2
=
?
80
2
=
?
0,3
2
=
?
4
2
=
?
Ein Produkt von Wurzeln lässt sich als Produkt unter einer Wurzel schreiben und umgekehrt. Sofern weder a noch b negativ sind, gilt also

√a · √b = √(a · b)

Ein Quotient von Wurzeln lässt sich als Quotient unter einer Wurzel schreiben und umgekehrt. Sofern weder a noch b negativ sind, gilt also

√a : √b = √(a : b)

Nach dem Distributivgesetz können gleiche Wurzeln (bzw. Vielfache davon) addiert und subtrahiert werden:

a√c + b√c = (a + b)√c

Achtung: √a + √b ≠ √(a+b)

Oft kann man teilweise die Wurzel ziehen. Sofern a nicht negativ ist, kann man den Faktor a² unabhängig vom Faktor b radizieren:

√(a² · b) = √(a²) · √b = a · √b

Beispiel 1
108
10
·
3
=
?
Beispiel 2
108
300
=
?
Beispiel 3
50
·
2
=
?
50
2
=
?
50
=
?
Beispiel 4
9
·
16
=
?
9
+
16
=
?
9
+
16
=
?
Die Wurzel einer positiven Zahl a ist diejenige positive Zahl, die quadriert a ergibt, also

(√a)2 = a.

Die Zahl unter der Wurzel nennt man Radikand.

Beispiel 1
0,0016
=
16
10000
=
4
100
2
=
4
100
=
0,04
Beispiel 2
3
6
25
=
81
25
=
9
5
2
=
9
5
Nach dem Distributivgesetz können gleiche Wurzeln (bzw. Vielfache davon) addiert und subtrahiert werden:

a√c + b√c = (a + b)√c

Achtung: √a + √b ≠ √(a+b)
Beispiel 1
5
·
10
9
·
10
=
?
Beispiel 2
Fasse zusammen:
2
 
3
3
 
2
+
3
2
 
2
Beispiel 3
Fasse zusammen:
18
3
+
5
 
2
6
 
32
Ein Produkt von Wurzeln lässt sich als Produkt unter einer Wurzel schreiben und umgekehrt. Sofern weder a noch b negativ sind, gilt also

√a · √b = √(a · b)

Unter anderem ermöglicht diese Regel, Wurzeln teilweise zu radizieren. Sofern a nicht negativ ist, kann man den Faktor a² unabhängig vom Faktor b radizieren:

√(a² · b) = √(a²) · √b = a · √b

Beispiel 1
Radiziere teilweise:
720
=
?
Beispiel 2
Vereinfache:
3
 
45
·
18
=
?
Distributivgesetz:

a · (b + c ) = a · b + a · c    ("Klammer ausmultiplizieren")

(a + b ) : c = a : c + b : c

Statt + kann man auch − einsetzen, d.h. das Disriputivgesetz gilt für Summen wie auch für Differenzen, die mit einer Zahl multipliziert oder durch eine Zahl dividiert werden.

Beispiel 1
3
·
3
27
=
?
Beispiel 2
Vereinfache:
3
 
32
108
·
5
 
3
6
Beachte beim Rechnen mit Variablen, dass (weil a auch negativ sein könnte)

√(a²) = | a |

Der Betragstrich ist nicht nötig, wenn a < 0 ausgeschlossen werden kann. Ist hingegen bekannt, dass a negativ ist, kann man statt des Betrags auch konkret schreiben

√(a²) = −a

Ob eine Variable unter der Wurzel positiv oder negativ ist, erschließt sich oft indirekt aus der Aufgabenstellung.

Beispiel 1
Gegeben ist der Term
 
x
6
 
.
Welche Werte können für x eingesetzt werden und wie heißt der vereinfachte Term?
Beispiel 2
Vereinfache (x ≠ 0).
3
 
4x
2
y
:
12y
4

Die drei Binomischen Formeln (BF) lauten:

  1. (a + b)² = a² + 2ab + b²
  2. (a − b)² = a² − 2ab + b²
  3. (a + b) (a − b) = a² − b²
In dieser Richtung (links mit Klammer, rechts ohne) dienen die Formeln dazu, Klammern schneller auszumultiplizieren. Ohne Kenntnis der BF müsste man die Klammern auf herkömmlich Art ("jeder mit jedem") ausmultiplizieren.
Beispiel
Multipliziere.
6
 
x
+
2
 
y
2
=
?
 
     
 
a
3
3
 
b
2
=
?
 
     
 
d
+
2
 
3
·
d
2
 
3
=
?