7.3 Abstand zueinander windschiefer Geraden

- Lehrwerk Lambacher Schweizer

Hilfe
  • Hier zwei alternative Vorgehensweisen, um den Abstand zweier windschiefer Geraden g und h zu bestimmen:

    Mittels Hilfsebene:

    1. Führe eine Hilfsebene E ein, die g enthält und parallel ist zu h (für die Gleichung von E in Parameterform kann man den Aufpunkt von g und die Richtungsvektoren beider Geraden verwenden).
    2. Wandle E in Normalenform um.
    3. Bestimme den Abstand zwischen dem Aufpunkt von h und der Hilfsebene E.
    Oder mit Hilfe des "Verbindungsvektors":
    1. Bilde den Vektor, der einen Punkt Pλ der Geraden g mit einem Punkt Qμ der Geraden h verbindet.
    2. Bestimme λ und μ so, dass der Verbindungsvektor senkrecht zu g und h steht (also das Skalarprodukt mit den Richtungsvektoren von g und h jeweils den Wert 0 ergibt).
    3. Berechne jetzt die Länge des senkrechten Verbindungsvektors.
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Berechne den Abstand der beiden windschiefen Geraden g und h.

  • g: 
    x
    =
    1
    0
    1
    +
    λ
    ·
    2
    2
    1
    h: 
    x
    =
    4
    3
    1
    +
    λ
    ·
    1
    −
    2
    2
    d(g;h)=
    (Im Einzelschritt-Modus kannst du Lösungsmöglichkeit 1 mittels Hilfsebene üben.)
    Notizfeld
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Hier zwei alternative Vorgehensweisen, um den Abstand zweier windschiefer Geraden g und h zu bestimmen:

Mittels Hilfsebene:

  1. Führe eine Hilfsebene E ein, die g enthält und parallel ist zu h (für die Gleichung von E in Parameterform kann man den Aufpunkt von g und die Richtungsvektoren beider Geraden verwenden).
  2. Wandle E in Normalenform um.
  3. Bestimme den Abstand zwischen dem Aufpunkt von h und der Hilfsebene E.
Oder mit Hilfe des "Verbindungsvektors":
  1. Bilde den Vektor, der einen Punkt Pλ der Geraden g mit einem Punkt Qμ der Geraden h verbindet.
  2. Bestimme λ und μ so, dass der Verbindungsvektor senkrecht zu g und h steht (also das Skalarprodukt mit den Richtungsvektoren von g und h jeweils den Wert 0 ergibt).
  3. Berechne jetzt die Länge des senkrechten Verbindungsvektors.
Beispiel
Bestimme den Abstand der beiden Geraden g und h:
g: 
x
=
−
3
−
1
6
+
λ
·
1
−
1
0
h: 
x
=
0
0
5
+
λ
·
2
3
−
4