6.GFS-Thema: Gleichung einer Schnittgeraden von Ebenen bestimmen - Aufgaben

- Lehrwerk Lambacher Schweizer

Hilfe
  • Hilfe speziell zu dieser Aufgabe
    Die Beträge der einzugebenden Zahlen ergeben in der Summe 12.
  • Sind zwei Ebenen E und F jeweils durch eine Gleichung in Normalenform gegeben, so ermittelt man ihre Lage zueinander und die evtl. Schnittgerade wie folgt:
    • Vergleiche zuerst die Normalenvektoren beider Ebenen: sind sie linear abhängig, so sind E und F parallel. Lässt sich zudem die Gleichung von E durch Äquivalenzumformung (Multiplikation mit geeignetem Faktor auf beiden Seiten) in die Gleichung von F überführen, so sind E und F sogar identisch.
    • Andernfalls schneiden sich E und F. Eine Gleichung in Parameterform für die Schnittgerade s erhält man so:
      1. Setze z.B. x1 = λ.
      2. Löse z.B. die Gleichung von E nach x2 auf und setze das Ergebnis in die Gleichung von F ein. So erhältst du eine Gleichung der Sorte x3 = ....λ....
      3. Setze dieses Ergebnis in E ein und du du erhältst schließlich x2=...λ...
      4. Schreibe die Ergebnisse für x1, x2 und x3 untereinander und forme daraus "Ortsvektor + λ · Richtungsvektor".
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu dieser Aufgabe" unterhalb der Aufgabe.

Lagebeziehung Ebene - Ebene, beide in Normalenform.

  • Gegeben sind zwei Ebenen:
    E:
     
     
    x
    1
    +
    3x
    2
    −
    x
    3
    +
    1
    =
    0
    F:
     
     
    x
    1
    −
     
     
    x
    2
    +
    x
    3
    −
    5
    =
    0
    Bestimme die Schnittgerade s von E und F.
    s:
     
    X
    =
    0
    +
    λ
    ·
    1
    Notizfeld
    Notizfeld
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Sind zwei Ebenen E und F jeweils durch eine Gleichung in Normalenform gegeben, so ermittelt man ihre Lage zueinander und die evtl. Schnittgerade wie folgt:
  • Vergleiche zuerst die Normalenvektoren beider Ebenen: sind sie linear abhängig, so sind E und F parallel. Lässt sich zudem die Gleichung von E durch Äquivalenzumformung (Multiplikation mit geeignetem Faktor auf beiden Seiten) in die Gleichung von F überführen, so sind E und F sogar identisch.
  • Andernfalls schneiden sich E und F. Eine Gleichung in Parameterform für die Schnittgerade s erhält man so:
    1. Setze z.B. x1 = λ.
    2. Löse z.B. die Gleichung von E nach x2 auf und setze das Ergebnis in die Gleichung von F ein. So erhältst du eine Gleichung der Sorte x3 = ....λ....
    3. Setze dieses Ergebnis in E ein und du du erhältst schließlich x2=...λ...
    4. Schreibe die Ergebnisse für x1, x2 und x3 untereinander und forme daraus "Ortsvektor + λ · Richtungsvektor".
Beispiel
E
:
x
1
−
2x
3
+
3x
3
−
5
=
0
F
:
2x
1
−
2x
2
+
x
3
−
1
=
0
G
:
−
3x
1
+
6x
2
−
9x
3
+
10
=
0
Überprüfe die Lage der Ebene E zu den Ebenen F und G und bestimme, falls vorhanden, die Gleichung der jeweiligen Schnittgerade in Parameterform.
Ist die Ebene E durch eine Gleichung in Normalenform und die Ebene F durch eine Gleichung in Paramterform gegeben, so ermittelt man ihre Lage zueinander und die evtl. Schnittgerade wie folgt:
  1. Setze F in E ein, d.h. ersetze x1, x2 und x3 in der E-Gleichung durch die entsprechenden Zeilen des F-Gleichungssystems.
  2. Löse die entstehende λ,μ-Gleichung, wenn möglich, z.B. nach μ auf und setze das Ergebnis in die F-Gleichung für μ ein.
  3. Fasse zu "Ortsvektor + λ · Richtungsvektor" zusammen.
Eine Schnittgerade liegt nur dann vor, wenn sich der zweite Schritt "problemlos" durchführen lässt. Andernfalls sind die Ebenen parallel, und zwar
  • echt parallel, wenn das Auflösen nach λ zu einer falschen Aussage wie z.B. "0 = 1" führt.
  • identisch, wenn sich eine wahre Aussage wie z.B. "0 = 0" ergibt.
Beispiel
E
:
x
1
+
5x
2
+
13x
3
−
2
=
0
F
:
X
=
1
2
−
3
+
λ
 
1
0
2
+
μ
 
1
−
1
1
G
:
X
=
0
−
1
3
+
λ
 
2
−
3
1
+
μ
 
5
−
1
0
Überprüfe die Lage der Ebene E zu den Ebenen F und G und bestimme, falls vorhanden, die Gleichung der jeweiligen Schnittgerade in Parameterform.