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Löse folgende quadratische Gleichung. Wenn es nur eine bzw. gar keine Lösung gibt, gib im zweiten Feld bzw. in beiden Feldern "!" ein.

x
2
=
49
x
1
=
 
die kleinere
x
2
=
 
die größere
  • Nebenrechnung

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Quadratische Gleichungen Teil 2
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Quadratische Gleichungen Teil 3
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Quadratische Gleichungen Teil 4
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Quadratische Gleichungen Teil 5

Eine Gleichung kann graphisch gelöst werden, indem man beide Seiten der Gleichung als Funktionsterm betrachtet und die zugehörigen Graphen zeichnet. Die Stellen, wo sie sich schneiden bzw. berühren, sind die Lösungen der Gleichung. Keine gemeinsamen Punkte dagegen heißt keine Lösung.
Beispiel
Löse graphisch:
0,5x
2
1
=
1,5x
2
Merke:
  • a ist der x² zugehörige Koeffizient (d.h. die Zahl, die vor x² steht)
  • b ist der x zugehörige Koeffizient (d.h. die Zahl, die vor x steht). Kommt x in der Gleichung nicht vor, so ist b = 0.
  • c ist die Konstante (d.h. c steht solo, ohne x oder x²). Kommt keine Konstante in der Gleichung vor, so ist c = 0.
Quadratische Gleichungen können leicht gelöst werden, wenn
  • x nur im Quadrat vorkommt (z.B. -2x² + 3 = 2)
    → nach x² auflösen, zuletzt Wurzel ziehen; beachte "±" !
  • keine (additiven) Konstanten auftreten (z.B. -2x² = 3x)
    → alle x-Terme auf eine Seite und x ausklammern
Beispiel
Löse jeweils mit wenig Aufwand:
2x²
+
3
=
2
 
          
 
1
2
·
x
2
2
3
=
1
 
          
 
2x
2
=
3x

Um zu ermitteln, ob die quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 überhaupt gelöst werden kann und ob es - falls ja - eine oder zwei Lösungen gibt, berechnet man am besten zuerst die sog. Diskriminante:

D = b² − 4ac

  • Gilt D < 0, so ist die quadratische Gleichung unlösbar.
  • Gilt D = 0, so hat die quadratische Gleichung genau eine Lösung.
  • Gilt D > 0, so hat die quadratische Gleichung zwei Lösungen.

Die Lösungen der quadratische Gleichung ax² + bx + c = 0 könnnen, falls vorhanden, immer mit der sog. Mitternachtsformel (MNF) bestimmt werden. Zunächst berechnet man die sog. Diskriminante:

D = b² − 4ac

Je nachdem, ob D positiv, null oder negativ ist, gibt es genau zwei, genau eine oder gar keine Lösung. Abgesehen vom letzten Fall heißt/heißen die Lösung(en):

x1,2 = (−b ± √D) : 2a

Beispiel 1
Löse die Gleichung 
2x
2
5x
7
=
0
.
Beispiel 2
Löse die Gleichung:
1
3
 
x
x
2
+
7
=
5
+
x
Der Satz vom Nullprodukt sagt:

Ist ein Produkt von zwei Zahlen Null, dann muss mindetens ein Faktor Null sein.

In etwas formalerer Schreibweise: Aus a·b= 0 folgt a = 0 und/oder b = 0.

Es folgt sofort: Ist ein Produkt aus mehreren Faktoren Null, dann muss mindetens ein Faktor Null sein.

Vielfachheit von Lösungen:

Die Gleichung (x-1)2 = 0 hat nur die Lösung x = 1, da der Faktor (x-1) aber zwei Mal auftritt, sagt man, dass x = 1 eine zweifache Lösung ist.

Entsprechend gibt es einfache, dreifache usw. Lösungen.

Beispiel
Löse die Gleichung.
x
1
·
3x
5
2
=
0
Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist. Daher hat eine quadratische Gleichung der Form
  • (x − 1)⋅(x + 2) = 0 die zwei Lösungen 1 und -2
  • (x − 3)² = 0 nur die Lösung 3
Beispiel
Gib eine quadratische Gleichungen an, die als einzige Lösung x = -5 hat.

Die drei Binomischen Formeln (BF) lauten in der Rückwärtsversion:

  1. a² + 2ab + b² = (a + b)²
  2. a² − 2ab + b² = (a − b)²
  3. a² − b² = (a + b) (a − b)

In dieser Richtung (links ohne Klammer, rechts mit) ermöglichen die Formeln, eine Summe oder Differenz in ein Produkt umzuformen ("faktorisieren"). Hier ist es wichtig, dass man den linken Term erst einmal überprüft: Liegt die passende Struktur für eine BF vor? Eine Probe (andere Richtung) gibt Gewissheit.

Beispiel
Löse durch Faktorisieren:
x
2
1
9
=
0