Potenzen mit rationalen Exponenten

n-te Wurzel und Kehrbruch mit Hilfe von Potenzen ausdrücken, Umwandlung zwischen beiden Darstellungsformen, Lösen von Gleichungen durch geeignete Potenzierung - Lehrplan

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  • Mit der n-ten Wurzel von a≥0 ist die nicht negative Zahl gemeint, die mit n potenziert a ergibt. Z.B. ist 2 die 5-te Wurzel von 32, weil 25=32.

    Beachte:Sowohl der Radikand a, also die Zahl unter der n-ten Wurzel, als auch die n-te Wurzel selbst, dürfen per Definition NICHT NEGATIV sein. Das wird oft missachtet, auch die Taschenrechner sind leider so programmiert, dass sie z.B. als dritte Wurzel von −8 die Zahl −2 ausgeben, obwohl eigentlich "Error" ausgegeben werden müsste.

    Viele Schüler sehen diese Einschränkung überhaupt nicht ein und argumentieren, dass (−2)3=−8, weshalb die dritte Wurzel von −8 doch erlaubt sein müsse. Das ist für sich genommen richtig, doch würden sich, wenn man negative Zahlen unter einer Wurzel zuließe, Widersprüche bei der Anwendung von Potenzregeln ergeben.

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Mit der n-ten Wurzel von a≥0 ist die nicht negative Zahl gemeint, die mit n potenziert a ergibt. Z.B. ist 2 die 5-te Wurzel von 32, weil 25=32.

Beachte:Sowohl der Radikand a, also die Zahl unter der n-ten Wurzel, als auch die n-te Wurzel selbst, dürfen per Definition NICHT NEGATIV sein. Das wird oft missachtet, auch die Taschenrechner sind leider so programmiert, dass sie z.B. als dritte Wurzel von −8 die Zahl −2 ausgeben, obwohl eigentlich "Error" ausgegeben werden müsste.

Viele Schüler sehen diese Einschränkung überhaupt nicht ein und argumentieren, dass (−2)3=−8, weshalb die dritte Wurzel von −8 doch erlaubt sein müsse. Das ist für sich genommen richtig, doch würden sich, wenn man negative Zahlen unter einer Wurzel zuließe, Widersprüche bei der Anwendung von Potenzregeln ergeben.

Sei r eine positive rationale Zahl. Dann gilt

b−r = 1 / br

Sei b ≥ 0 und n eine natürliche Zahl. Dann gilt

b1/n = n√b

Sei b ≥ 0, m und n natürliche Zahlen. Dann gilt

bm/n = n√(bm) = (n√b)m

Beispiel 1
27
2
3
=
?
 
          
 
0,75
−
2
=
?
Beispiel 2
Schreibe jeweils als Potenz (ohne Wurzelzeichen) mit möglichst einfacher Basis:
3
25
9
 
          
 
1
8
Beispiel 3
Vereinfache jeweils so, dass die Variable nicht im Nenner oder unter der Wurzel steht:
2
3x
2
 
          
 
3
64
27a
Zwei Terme T1 und T2 sind äquivalent, wenn sie die gleichen Defintionsmengen besitzen und bei jeder Einsetzung aus der Definitionsmenge den selben Wert annehmen.
Beispiel
Überprüfe jeweils auf Äquivalenz:
x
2
 
und
 
x
2
 
          
 
x
2
3
 
und
 
x
3
Potenzgesetze:
  1. Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält.
    ap · aq = ap + q

  2. Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält.
    ap : aq = ap − q

  3. Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und den Exponenten beibehält.
    aq · bq = (a · b)q

  4. Potenzen mit gleichen Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den Exponenten beibehält.
    aq : bq = (a : b)q

  5. Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert.
    (ap)q = ap·q
Beispiel
Forme, falls möglich, in EINE Wurzel um, in der nur noch positive Exponenten auftreten.
a)  
a
3
·
a
b)  
a
3
a
c)  
5
a
−
2
d)  
a
+
a
1,5
Die Gleichung xn=a (n ∈ N)
  • hat KEINE Lösung, wenn n eine gerade Zahl ist und a<0.
  • hat GENAU ZWEI Lösungen, wenn n eine gerade Zahl und a>0, nämlich die n-te Wurzel von a als auch deren Gegenzahl.
  • hat GENAU EINE Lösung, wenn n eine ungerade Zahl und a>0, nämlich die n-te Wurzel von a.
  • hat GENAU EINE Lösung, wenn n eine ungerade Zahl und a<0, nämlich die Gegenzahl der n-te Wurzel von |a|.
Beispiel
Löse, falls möglich:
a
 
x
4
=
−
5
     
b
 
x
4
=
5
     
c
 
x
3
=
5
     
d
 
x
3
=
−
5
     
e
 
x
3
=
0
Die Graphen-Schnittpunkte zweier Potenzfunktionen der Art a·xn erhält man, indem man der Reihe nach...
  1. (wie üblich) die beiden Funktionsterme zunächst gleichsetzt,
  2. mit der linken Seite subtrahiert, so dass eine "...=0"-Gleichung entsteht,
  3. auf der linken Seite die kleinere der beiden x-Potenzen ausklammert,
  4. die beiden Faktoren (x-Potenz und Klammer dahinter) nacheinander gleich null setzt.
Bemerkung: Beide Graphen schneiden sich immer im Ursprung des Koordinatensystems. Ob es weitere Schnittpunkte gibt und wie viele, erkennt man, indem man die Graphen skizziert. Beachte beim Lösen auch die symmetrischen Eigenschaften der Graphen, damit sparst du dir Rechenarbeit.
Beispiel
f
 
x
=
1
3
 
x
7
g
 
x
=
3
 
x
5
Ermittle die Anzahl der Schnittpunkte beider Graphen durch grobe Skizze und bestimme die genauen Koordinaten rechnerisch.