Exponentialfunktionen

Graph der Exponentialfunktion, Bestimmung von Anfangsbestand und Wachstumsfaktor anhand des Graphen, Transformation der Exponentialfunktion - Lehrplan

Hilfe
  • Hilfe speziell zu dieser Aufgabe
    Wie groß ist der Bestand zum Zeitpunkt t=2 min? Nach wie vielen Minuten halbiert sich dieser Bestand?
  • Verdoppelungszeit tD nennt man die (bei exponentiellem Wachstum konstante) Zeit, in der sich der Bestand verdoppelt.

    Halbwertszeit tH nennt man die (bei exponentieller Abnahme konstante) Zeit, in der sich der Bestand halbiert.

Lies möglichst genau ab.

  • graphik
    Halbwertszeit 
    t
    H
     
    ≈
         
    2,0 min
         
    2,2 min
         
    2,4 min
         
    2,6 min
    Hinweis: es ist Absicht, dass der Anfangsbestand nicht abgelesen werden kann; man kann die Aufgabe trotzdem lösen.
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Verdoppelungszeit tD nennt man die (bei exponentiellem Wachstum konstante) Zeit, in der sich der Bestand verdoppelt.

Halbwertszeit tH nennt man die (bei exponentieller Abnahme konstante) Zeit, in der sich der Bestand halbiert.

Funktionen mit der Gleichung f(x) = b · ax heißen Exponentialfunktionen. Dabei ist
  • a > 0 der Wachstumsfaktor und
  • b = f(0) der Anfangsbestand
Beispiel 1
Gegeben ist der Graph einer Exponentialfunktion mit der Gleichung 
y
=
b
·
a
x
. Bestimme a und b.
graphik
Beispiel 2
Schreibe in der Form 
f
 
x
=
b
·
a
x
.
f
 
x
=
1
5
6
·
2
1
−
x
Der Graph einer Exponentialfunktion mit der Gleichung y = b · ax hat stets die x-Achse als Asymptote und schneidet die y-Achse in (0|b).

Im Fall b > 0

  • steigt der Graph für a > 1 ("ins Unendliche")
  • fällt der Graph für 0 < a < 1

Im Fall b < 0 (Spiegelung an der x-Achse gegenüber dem positiven Betrag von b) verhält es sich genau umgekehrt.

Beispiel
Für welche Werte von a
(a) fällt der Graph von    f(x)
=
a
+
1
·
x
−
2
 
   streng monoton?
(b) steigt der Graph von    f(x)
=
2
·
a
−
x
 
   streng monoton?
Sei B(n) der Bestand nach dem n-ten Zeitschritt.
Unterscheide zwischen linearem und exponentiellem Wachstum:
  • Linear: Zunahme pro Zeitschritt ist - absolut - immer gleich, d.h.
    B(n + 1) = B(n) + d
    Den Bestand nach n Zeitschritten berechnet man mithilfe der Formel:
    B(n) = B(0) + n ·d
    d bezeichnet hier die Änderung pro Zeitschritt.
  • Exponentiell: Zunahme pro Zeitschritt ist - prozentual - immer gleich, d.h.
    B(n + 1) = B(n) · k.
    Den Bestand nach n Zeitschritten berechnet man mithilfe der Formel:
    B(n) = B(0) ·kn
    k bezeichnet hier den Wachstumsfaktor.
Beispiel
  • Exponentielles Wachstum
Ein Bestand mit dem Anfangswert B(0) = 1000 nimmt täglich um 2,5% zu.
n
0
1
2
5
10
B(n)
1000
?
?
?
?
  • Lineares Wachstum
Ein Bestand mit dem Anfangswert B(0) = 1000 nimmt täglich um 25 zu.
n
0
1
2
5
10
B(n)
1000
?
?
?
?
Exponentielles Wachstum:
Zunahme pro Zeitschritt ist - prozentual - immer gleich, d.h.
B(n + 1) = B(n) · k.

  • B(n) gesucht:
    • Den Bestand nach n Zeitschritten berechnet man mithilfe der Formel:
    B(n) = B(0) · kn

  • n gesucht:
    • Ist n gesucht, löst man die Formel nach n auf:
    B(n) = B(0) · kn | : B(0)
    B(n) / B(0) = kn | log
    log( B(n) / B(0) ) = log( kn)
    log( B(n) / B(0) ) = n · log( k ) | : log( k )
    n = log( B(n) / B(0) ) / log( k )

  • B(0) gesucht:
    • Ist B(0) gesucht, löst man die Formel nach B(0) auf:
    B(n) = B(0) · kn | : kn
    B(0) = B(n) / kn

  • k gesucht:
    Ist k gesucht, löst man die Formel nach k auf:
    B(n) = B(0) · kn | : B(0)
    B(n) / B(0) = kn
    Zuletzt zieht man noch die n-te Wurzel
Beispiel 1
Ein Kapital von 2000 € vermehrt sich auf einem Sparkonto pro Jahr um 0,1%.
Nach 8 Jahren beträgt das Kapital auf dem Konto:
?
 
Euro
 
?
 
Cent
Beispiel 2
Ein Guthaben von 5000 € wird mit 3,7% verzinst. Nach wie vielen Jahren ist es auf 8000 € angewachsen?
Nach ? Jahren beträgt das Guthaben 8000 €.