Ganzrationale Funktionen - Faktorisierung

Faktorisierung durch Ausklammern, Anwendung der Mitternachtsformel, Substitution - Lehrplan G9 (5.-11. Klasse)

Hilfe
  • Ausklammern.
  • Liegt ein Funktionsterm in faktorisierter Form vor, also

    f(x) = p(x) · q(x)   [evtl. noch mehr Faktoren],

    so erhält man alle Nullstellen von f, indem man die Nullstellen der einzelnen Faktoren bestimmt - denn ein Produkt ist Null, wenn ein Faktor Null ist.
TIPP Beispiel-Aufgabe: Zu diesem Aufgabentyp gibt es eine passende Beispiel-Aufgabe. Klicke dazu auf "Hilfe zu diesem Aufgabentyp" unterhalb der Aufgabe.

Gib alle Nullstellen an. Falls es weniger Nullstellen als Felder gibt, fülle die restlichen mit "!" aus. Brüche sind in der Form "a/b" bzw. "-a/b" einzugeben.

  • f(x)
    =
    x
    −
    1
    ·
    1
    2
     
    x
    3
    −
    2x
    ;
    ;
    ±
    ;
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
    Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.
Faktorisierung von Polynomen (Teil 1)
Lernvideo

Faktorisierung von Polynomen (Teil 1)

Kanal: Mathegym
Liegt ein Funktionsterm in faktorisierter Form vor, also

f(x) = p(x) · q(x)   [evtl. noch mehr Faktoren],

so erhält man alle Nullstellen von f, indem man die Nullstellen der einzelnen Faktoren bestimmt - denn ein Produkt ist Null, wenn ein Faktor Null ist.
Beispiel
f
 
x
=
x
4
−
3x
3
−
2x
2
·
x
+
1
3
 
. Ermittle alle Nullstellen.
Ein quadratischer Term (q · x² + r · x + s) kann evtl. als Produkt von zwei linearen Termen (linear ist z.B. x + 2) geschrieben werden. Dies hängt von den Lösungen der entsprechenden Nullgleichung (Lösungsformel!) ab:
  • Zwei unterschiedliche Lösungen a und b: der Term zerfällt in q · (x − a) · (x − b).

  • Eine Lösung a: der Term zerfällt in q · (x − a)².

  • Keine Lösung ("Minus unter der Wurzel"): der Term ist nicht zerlegbar.
Beispiel
Zerlege, falls möglich, in Linearfaktoren:
a
 
   
 
−
2x
2
+
3x
+
2
b
 
   
 
−
3x
2
+
x
−
5
Beim Lösen einer Gleichung mit der Unbekannten x kann es hilfreich sein, eine Substitution vorzunehmen. Man ersetzt dabei einen geeigneten x-Term (z.B. x²) durch eine neue Variable, z.B. "z", so dass die Gleichung gelöst werden kann. Wenn man die Lösung(en) für z kennt, findet man die Lösungen für x leicht heraus (Re- / Rücksubstitution).
Beispiel
Löse die Gleichung.
x
4
−
6x
2
+
8
=
0