Integral - Berechnung mit Stammfunktion - Mathematikaufgaben

Stammfunktion von Potenz-, trigonometrischer und natürlicher Exponentialfunktion (auch zusammengesetzt), bestimmtes Integral mit Hilfe von Stammfunktion berechnen - gemäß Lehrplan für 10.-12. Klasse

Hilfe
  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
    Stammfunktion einer Potenzfunktion: Für alle ganzen Zahlen n ≠ -1 gilt

    ∫ xn dx

    =1 / (n + 1) · xn + 1 + C

    Beispiele:

    ∫ 3x5 dx

    = 3 ∫ x5 dx = 3/6 · x6 + C = 0,5 x6 + C

    ∫ 5 / x² dx

    = 5 ∫ x-2 dx = 5/(-1) · x-1 + C = -5 / x + C

    Spezialfall n = -1:

    ∫ 1/x dx

    = ln |x| + C

Ergänze so, dass F eine Stammfunktion von f ist. Brüche in der Form "a/b" bzw "-a/b" schreiben.

  • f
     
    x
    =
    2
     
    x
    3
    F
    x
    =
     
    x
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  • Stammfunktionen von sin, cos und exp:

∫ sin (x) dx = − cos (x) + C

∫ cos (x) dx = sin (x) + C

∫ ex dx = ex + C

  • Beachte aufgrund der Kettenregel (a ≠ 0):

∫ f ( ax + b ) dx

= 1/a · F ( ax + b) + C

  • Beispiele:

∫ e4x+1 dx

= 1/4 · e4x+1 + C

∫ sin ( 0,5x − π ) dx

= 1/0,5 · [ −cos ( 0,5x − π ) ] + C = −2·cos ( 0,5x − π ) + C

Kompliziertere Stammfunktionen:

∫ f ´ (x) / f (x) dx

= ln | f(x) | + C

∫ ef(x)· f ´ (x) dx

= ef(x) + C

Beispiele:

∫ (3x²+1) / (x³ + x) dx

= ln | x³ + x | + C

∫ 2x·ex² dx

= ex² + C

Stammfunktion einer Potenzfunktion: Für alle ganzen Zahlen n ≠ -1 gilt

∫ xn dx

=1 / (n + 1) · xn + 1 + C

Beispiele:

∫ 3x5 dx

= 3 ∫ x5 dx = 3/6 · x6 + C = 0,5 x6 + C

∫ 5 / x² dx

= 5 ∫ x-2 dx = 5/(-1) · x-1 + C = -5 / x + C

Spezialfall n = -1:

∫ 1/x dx

= ln |x| + C