2.1 Wiederholung: Lineare Funktionen

Eine lineare Funktion mit der Gleichung y = m·x + b ergibt grafisch immer eine Gerade. Dabei ist m die Steigung (zeigt an, wie stark die Gerade steigt oder fällt) und b der y-Achsenabschnitt (zeigt an, wo die Gerade die y-Achse schneidet) der Gerade.

• Ist m positiv, so steigt die Gerade (von links nach rechts)
• Ist m negativ, so fällt die Gerade (von links nach rechts)
• Ist m = 0, so verläuft die Gerade parallel zur x-Achse

Die Steigung m einer Geraden verrät durch ihr Vorzeichen, ob die Gerade steigt (m>0) oder fällt (m<0). Sonderfall: waagrechte Gerade (m=0). Am Betrag vom m sieht man, wie steil die Gerade verläuft. Je größer |m|, desto steiler die Gerade.

Liegt die Gerade als Zeichnung vor, kann man ihre Steigung m als Bruch angeben. Wähle dazu zwei beliebige Punkte auf der Geraden aus und zähle ab, wie viele Kästchen du vom linken Punkt aus nach rechts (⇒ Nenner von m) und von dort aus nach oben oder unten gehen musst (⇒ positiver bzw. negativer Zähler von m), um beim rechten Punkt anzukommen.

Um den Funktionsterm einer abgebildeten Geraden aufzustellen, musst du ihren y-Achsenabschnitt und ihre Steigung ermitteln:

1. Der y-Achsenabschnitt lässt sich direkt aus dem Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse ablesen.
2. Die Steigung erhältst du so: suche zwei Punkte auf der Geraden, deren Koordinaten sich gut ablesen lassen und betrachte das Steigungsdreieck zwischen diesen beiden Punkten. Bilde den Bruch aus der Höhe des Dreiecks im Zähler und der Breite des Dreiecks im Nenner und kürze diesen, falls möglich. Falls die Gerade fällt, schreibe noch ein Minus vor den oben ermittelten Bruch. Damit hast du die Steigung.

Ist eine Gerade g durch zwei Punkte A(x₁|y₁) und B(x₂|y₂) gegeben, so kann man ihre Steigung m so berechnen:

1. Berechne die Differenz der y-Werte beider Punkte, also Δy = y₂ − y₁.
2. Berechne ebenso die Differenz der x-Werte beider Punkte, also Δx = x₂ − x₁.
3. Der Bruch Δy / Δx ergibt die Steigung m.

Ist eine Gerade g durch ihre Steigung m und einen beliebigen Punkt P ∈ g gegeben, so kann man den y-Achsenabschnitt b leicht bestimmen:

1. Ausgangspunkt ist die Geradengleichung y = m·x + b (für m setze die bekannte Steigung ein).
2. Setze dann den Punkt P ein, d.h. ersetze x und y durch die Koordinaten von P.
3. Löse schließlich die Gleichung nach dem gesuchten b auf.

Ist eine Gerade g durch ihren y-Achsenabschnitt b und einen beliebigen Punkt P ∈ g gegeben, so kann man die Steigung m leicht bestimmen:

1. Ausgangspunkt ist die Geradengleichung y = m·x + b (für b setze den bekannten y-Achsenabschnitt ein).
2. Setze dann den Punkt P ein, d.h. ersetze x und y durch die Koordinaten von P.
3. Löse schließlich die Gleichung nach dem gesuchten m auf.

Ist eine Gerade durch zwei Punkte gegeben, so geht man wie folgt vor, um ihre Gleichung, sprich m und b, zu ermitteln:

1. Bestimme zunächst die Steigung m = Δy / Δx .
2. Setze dann in die Gleichung y = m·x + b die Koordinaten von einem der beiden Punkte ein und löse die Gleichung nach b auf.

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen:

Jede Gerade, die nicht parallel zu einer der Koordinatenachsen verläuft, schneidet jede Achse genau einmal.

• Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist dort, wo die x-Koordinate den Wert 0 annimmt. Er kann aus der Geradengleichung abgelesen werden, z.B ist bei y=2x−3 der y-Achsenabschnitt −3 und damit S_y(0|−3)
• Am Schnittpunkt mit der x-Achse ist die y-Koordinate 0. Um die x-Koordinate des Schnittpunkts zu bestimmen, setzt du in der Geradengleichung y=0 und löst die Gleichung nach x auf.
• Die Stelle x, an der die Gerade die x-Achse schneidet, bezeichnet man auch als Nullstelle.

Wenn von einem Punkt auf der Geraden nur die x-Koordinate bekannt ist, erhält man die y-Koordinate, indem man die x-Koordinate in den Funktionsterm einsetzt und den Wert des Funktionsterms berechnet. Das Ergebnis ist die y-Koordinate.

Wenn von einem Punkt auf der Geraden nur die y-Koordinate bekannt ist, erhält man die x-Koordinate, indem man den Funktionsterm gleich der y-Koordinate setzt und die entstehende Gleichung nach x auflöst. Das Ergebnis ist die x-Koordinate.

Um zu überprüfen, ob ein Punkt P(x | y) auf der Geraden liegt, setzt man den x-Wert in den Funktionsterm ein und berechnet den Termwert. Ist das Ergebnis der y-Wert des Punktes, dann liegt der Punkt auf der Geraden.