Integral - Flächenberechnung, Matheaufgaben

Bestimmung von Flächen zwischen Graph und x-Achse sowie Flächen zwischen zwei Graphen, auch in Abhängigkeit von Parametern

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Berechne den markierten Flächeninhalt durch Integration.

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Schritt 1/3
Welcher Ansatz stimmt? Achtung: um das Integral stehen keine Betragstriche!

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0,75x

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FLÄCHE berechnen INTEGRAL – Integralrechnung Flächenberechnung

Kanal: MathemaTrick

Wie berechnet man die Fläche zwischen zwei Graphen ohne Schnittpunkte in einem Intervall?

#578

Besitzen die Graphen zweier Funktionen f und g im Intervall ]a;b[ keinen Schnittpunkt, so erhält man die Fläche, die sie in diesem Intervall einschließen, durch Integration der Differenz f − g zwischen den Integrationsgrenzen a und b. Bei negativem Integralwert (wenn f < g im betrachteten Intervall) ist der Betrag davon zu nehmen.

Wie bestimmt man die Fläche unter einem Graphen ohne Schnittpunkte mit der x-Achse?

#577

Besitzt der Graph einer Funktion im Intervall ]a;b[ keinen Schnittpunkt mit der x-Achse, so erhält man die Fläche, die er in diesem Intervall mit der x-Achse einschließt durch Integration von f zwischen den Integrationsgrenzen a und b. Bei negativem Integralwert (wenn das betrachtete Flächenstück unter der x-Achse liegt) ist der Betrag davon zu nehmen.

Wie bestimmt man die Fläche zwischen zwei Graphen in einem Intervall, wenn deren Verlauf unbekannt ist?

#569

Um die Fläche zu ermitteln, die zwischen zwei Graphen G_f und G_g im Intervall I = [a;b] (d.h. nach links und rechts begrenzt durch die Vertikalen x = a und x = b) liegt, gehe wie folgt vor:

Bilde die Differenz d = f − g und vereinfache den Term so weit wie möglich.
Ermittle eine Stammfunktion D von d.
Überprüfe, ob und wo sich beide Graphen im Intervall I schneiden. Kommst du mit dem Ansatz f(x) = g(x) rechnerisch nicht weiter, führt evtl. eine Skizze weiter (es reicht, wenn Schnittstellen durch die Skizze ausgeschlossen werden können!).
Evtl. Schnittstellen, die im Intervall I liegen, unterteilen I in Teilintervalle. Integriere nun die Differenz d über die einzelnen Teilintervalle. Dabei kannst du immer auf dieselbe Stammfunktion D zurückgreifen.
Addiere zum Schluss die BETRÄGE der einzelnen Integrale.

Beispiel

Bestimme den Inhalt der Fläche, welche von den beiden Parabeln p und q mit