4.17 Vermischte Übungen

Terme - Lehrwerk Westermann (5.-10. Klasse)

Hilfe

  • Die drei Binomischen Formeln (BF) lauten:

    1. (a + b)² = a² + 2ab + b²
    2. (a − b)² = a² − 2ab + b²
    3. (a + b) (a − b) = a² − b²
    In dieser Richtung (links mit Klammer, rechts ohne) dienen die Formeln dazu, Klammern schneller auszumultiplizieren. Ohne Kenntnis der BF müsste man die Klammern auf herkömmlich Art ("jeder mit jedem") ausmultiplizieren.

Lässt sich eine der binomischen Formeln anwenden und wenn ja welche?

  • 2
    +
    b
    ·
    b
    +
    2
    1. binomische Formel
    2. binomische Formel
    3. binomische Formel
    keine binomische Formel
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
    Kein Textfeld ausgewählt! Bitte in das Textfeld klicken, in das die Zeichen eingegeben werden sollen.

Die drei Binomischen Formeln (BF) lauten:

  1. (a + b)² = a² + 2ab + b²
  2. (a − b)² = a² − 2ab + b²
  3. (a + b) (a − b) = a² − b²
In dieser Richtung (links mit Klammer, rechts ohne) dienen die Formeln dazu, Klammern schneller auszumultiplizieren. Ohne Kenntnis der BF müsste man die Klammern auf herkömmlich Art ("jeder mit jedem") ausmultiplizieren.
Beispiel 1
Multipliziere.
a
+
1
2
=
?
3
−
b
2
=
?
11
+
c
·
11
−
c
=
?
Beispiel 2
Multipliziere.
3
7
+
y
2
=
?
1,5x
−
2
3
2
=
?
q
2
+
1
6
·
q
2
−
1
6
=
?
Beispiel 3
Berechne mithilfe der binomischen Formeln ohne Taschenrechner:
53
2
=
?
29
2
=
?
38
·
42
=
?
Beispiel 4
Vereinfache soweit wie möglich.
2c
−
5d
2
−
c
−
5
·
3d
=
?

Die drei Binomischen Formeln (BF) lauten in der Rückwärtsversion:

  1. a² + 2ab + b² = (a + b)²
  2. a² − 2ab + b² = (a − b)²
  3. a² − b² = (a + b) (a − b)

In dieser Richtung (links ohne Klammer, rechts mit) ermöglichen die Formeln, eine Summe oder Differenz in ein Produkt umzuformen ("faktorisieren"). Hier ist es wichtig, dass man den linken Term erst einmal überprüft: Liegt die passende Struktur für eine BF vor? Eine Probe (andere Richtung) gibt Gewissheit.

Beispiel
Faktorisiere (wenn möglich).
49x
2
−
4
9
=
?
Beispiel
Ergänze:
▇
−
20y
+
4y
2
=
▇
−
▇
2
Beim Multiplizieren zweier Summen muss jeder Summand der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert werden (ergibt sich aus dem Distributivgesetz):

(a + b) · (c + d) = ac + ad + bc + bd

Beispiel
b
−
2
3
 
b
·
6a
·
a
−
30%
+
1
2
 
a
2
·
b
−
4ab
−
ab
2
Die Anzahl der Summanden, die sich nach dem Ausmultiplizieren mehrerer Summen ergibt, lässt sich ebenso leicht bestimmen wie die höchsten Variablenpotenzen:
  • Anzahl der Summanden: Nimm von jeder Klammer die Anzahl der Summanden und bilde das Produkt.
  • Höchste Potenz einer Variable: Nimm aus jeder Klammer die höchste Potenz dieser Variable und multipliziere diese Potenzen.
Beispiel
Wie viele Summanden ergeben sich nach dem Ausmultiplizieren und welche höchsten Variablenpotenzen?
x
+
2
−
y
2
·
2y
5
−
x
−
5x
2
+
1
3
·
x
+
1
·
y
3
Unterscheide zwischen
  • a · (b · c) = a · b · c   (A-Gesetz)
  • a · (b + c) = a · b + a · c   (D-Gesetz)