4.3 Reelle Zahlen

Reelle Zahlen - Lehrwerk Westermann (5.-10. Klasse)

Hilfe
  • Zieh im Kopf die Quadratwurzel aus dem Flächeninhalt A. Wenn dir das gelingt, ist die Lösung rational. Schaffst du es nicht, ist die Lösung vielleicht nicht rational (irrational).

Gesucht ist die Seitenlänge des Quadrats mit dem Flächeninhalt A. Wähle alle richtigen Aussagen aus.

  • A
    =
    4
     
    cm
    2
    Es gibt grundsätzlich keine Lösung.
    Für 
    G
    =
    ℚ
     gibt es eine Lösung.
    Für 
    G
    =
    ℚ
     gibt es keine Lösung.
    Für 
    G
    =
    ℝ
     gibt es eine Lösung.
    Für 
    G
    =
    ℝ
     gibt es keine Lösung.
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Zu den reellen Zahlen ℝ gehören alle rationalen Zahlen ℚ und alle irrationalen Zahlen.

Rationale Zahlen kann man als endlichen Bruch darstellen. Als Dezimalzahl haben sie keine, endlich viele Nachkommastellen oder die Nachkommastellen wiederholen sich periodisch.

Irrationale Zahlen kann man nicht als endlichen Bruch darstellen. Als Dezimalzahl haben sie unendlich viele Nachkommastellen, die sich nicht periodisch wiederholen.
Beispiel
Welche der reellen Zahlen sind rational, welche irrational?
3
3
5
2
0,1
6
2
 
≈
 
1,4142135...
Unterscheide folgende Zahlenmengen:
  • N = {1, 2, 3, ...}
    Menge der natürliche Zahlen
  • Z = {0, ±1, ±2, ±3, ...}
    Menge der ganze Zahlen; enthält über N hinaus auch noch 0 und die negativen (ganzen) Zahlen
  • Q = {p/q | p ∈ Z, q ∈ N}
    Menge der rationalen Zahlen; enthält über Z hinaus auch noch alle (nicht ganzzahligen) Brüche
  • R
    Menge der reellen Zahlen; enthält über Q hinaus auch noch alle irrationalen Zahlen wie z.B. √2 oder π
Die Wurzel einer nicht negativen Zahl a ist diejenige nicht negative Zahl Zahl, die quadriert a ergibt, also

(√a)2 = a.

Die Zahl unter der Wurzel nennt man Radikand.

Laut dieser Definition gilt also: Weder der Radikand noch der Wert des Wurzelterms dürfen/können negativ sein!
Beispiel 1
3
6
25
=
81
25
=
9
5
2
=
9
5
Beispiel 2
0,0016
=
16
10000
=
4
100
2
=
4
100
=
0,04