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Geometrie - Thaleskreis/Peripheriewinkelsatz - Matheaufgaben
- Lehrplan für 8.-9. Jgst
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Ein Kreis wird durch eine Sehne a in zwei Bögen unterteilt. Man betrachte den größeren der beiden Bögen (falls gleichgroß: einen der beiden Halbkreise):
Von jedem Punkt des sogenannten
Fasskreisbogens
erscheint die Sehne unter demselben Winkel γ (
Randwinkel
oder
Umfangswinkel
).
Vom Kreismittelpunkt aus erscheint die Sehne dagegen unter dem Winkel µ = 2γ, d.h. der
Mittelpunktswinkel
ist immer doppelt so groß wie der Umfangswinkel.
Durch Spiegelung an a erhält man den zweiten Fasskreisbogen (zweites Bild). Das Fasskreisbogenpaar (die Sehnenendpunkte gehören nicht dazu) ist also der geometrische Ort aller Punkte, von denen aus a unter demselben Winkel erscheint.
Im Spezialfall a = Durchmesser (s.o.) ergänzen sich die Fasskreisbögen (Halbkreise) zum Thaleskreis, der Randwinkel beträgt also hier stets 90°.
Konstruiere das Faßkreisbogenpaar, von dem aus die Sehne a unter dem Winkel γ zu sehen ist. Gib als Kontrolle die Verbindungsstrecke beider Mittelpunkte an .
Zwischenschritte aktivieren
a = 5cm, γ = 30°
M
1
M
2
≈
8,4 cm
8,7 cm
9,0 cm
9,3 cm
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Satz des Thales:
Liegen A, B und C auf einem Kreis und geht [AB] durch den Mittelpunkt, so ist das Dreieck ABC bei C rechtwinklig. Man spricht vom "Thaleskreis" über [AB].
Umgekehrt gilt: ist das Dreieck ABC bei C rechtwinklig, so liegt C auf dem Thaleskreis über [AB].
Beispiel 1
Welche der folgenden Dreiecke sind rechtwinklig?
Beispiel 2
Ermittle durch Konstruktion alle Punkte, von denen aus die beiden Strecken a und b unter einem rechten Winkel erscheinen.
Ein Kreis wird durch eine Sehne a in zwei Bögen unterteilt. Man betrachte den größeren der beiden Bögen (falls gleichgroß: einen der beiden Halbkreise):
Von jedem Punkt des sogenannten
Fasskreisbogens
erscheint die Sehne unter demselben Winkel γ (
Randwinkel
oder
Umfangswinkel
).
Vom Kreismittelpunkt aus erscheint die Sehne dagegen unter dem Winkel µ = 2γ, d.h. der
Mittelpunktswinkel
ist immer doppelt so groß wie der Umfangswinkel.
Durch Spiegelung an a erhält man den zweiten Fasskreisbogen (zweites Bild). Das Fasskreisbogenpaar (die Sehnenendpunkte gehören nicht dazu) ist also der geometrische Ort aller Punkte, von denen aus a unter demselben Winkel erscheint.
Im Spezialfall a = Durchmesser (s.o.) ergänzen sich die Fasskreisbögen (Halbkreise) zum Thaleskreis, der Randwinkel beträgt also hier stets 90°.
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