Gebrochen-rationale Funktionen - Fortsetzung - Mathematikaufgaben

Bestimmung und Klassifizierung von Polstellen; Erkennen behebbarer Definitionslücken, senkrechter, waagrechter und schräger Asymptoten; Zeichnung des Graphen; Ermittlung gebrochen-rationaler Funktionen aufgrund vorgegebener Eigenschaften - gemäß Lehrplan für 10.-12. Klasse

Hilfe
  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
  • Polstellen sind spezielle Definitionslücken. In der Umgebung einer Polstelle
    • wächst der Funktionswert betragsmäßig ins Unendliche
    • schmiegt sich der Graph folglich an eine senkrechte Asymptote an
    Je nachdem, ob der Funktionswert sich links/rechts von der Polstelle gegen +∞ oder −∞ entwickelt, handelt es sich um eine Polstelle
    • mit Vorzeichenwechsel (+/− oder −/+) oder
    • ohne Vorzeichenwechsel(+/+ oder −/−).

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  • graphik
    x
    =
    −
    1
    x
    =
    2
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Polstellen sind spezielle Definitionslücken. In der Umgebung einer Polstelle
  • wächst der Funktionswert betragsmäßig ins Unendliche
  • schmiegt sich der Graph folglich an eine senkrechte Asymptote an
Je nachdem, ob der Funktionswert sich links/rechts von der Polstelle gegen +∞ oder −∞ entwickelt, handelt es sich um eine Polstelle
  • mit Vorzeichenwechsel (+/− oder −/+) oder
  • ohne Vorzeichenwechsel(+/+ oder −/−).
Beispiel
Lies aus dem Graphen evtl. auftretende Null- und Polstellen ab und charakterisiere diese näher.
graphik
Um eine Polstelle x0 zu spezifizieren, muss man die einseitigen Grenzwerte bestimmen. Dazu lässt man x einmal von links gegen x0 gehen und einmal von rechts.

Beispiel: x0=1
"von links gegen 1" trifft etwa auf die Folge 0,9 ; 0,99 ; 0,999 ... zu.
"von rechts gegen 1" trifft etwa auf die Folge 1,1 ; 1,01 ; 1,001 ... zu.

Oft erkennt man schon ohne direktes Ausrechnen, ob der Funktionswert f(x) sich dabei gegen +∞ oder −∞ entwickelt.

Beispiel
Bestimmen evtl. auftretende Null- und Polstellen und charakterisiere diese näher.
f(x)
=
x
−
2
9
4
 
x
3
−
3x
2
+
x
Der Zählergrad z (also die höchste x-Potenz im Zähler) und der Nennergrad n bestimmen darüber, was für Asymptoten der Graph einer gebrochen-rationalen Funktion (außer den senkrechten Asymptoten, die bei Polstellen vorliegen) evtl. noch hat:
  • x-Achse als waagrechte Asymptote, falls z < n
  • waagrechte Asymptote, aber nicht die x-Achse, falls z = n; es genügt, die Leitkoeffizienten abzulesen und zu dividieren
  • schräge Asymptote, falls z = n + 1; die Gleichung lässt sich durch Polynomdivision ermitteln
  • weder waagrechte noch schräge Asymptote, falls z > n + 1
Beispiel
Liegen waagrechte/schräge Asymptoten vor? Wenn ja, bestimme deren Gleichung.
f(x)
=
2x
2
3x
−
1
2
g(x)
=
2x
2
·
1
−
x
3x
−
1
h(x)
=
2x
3x
−
1
2
i(x)
=
2x
2
3x
−
1
Bruchterme lassen sich evtl. durch Kürzen vereinfachen. Voraussetzung dafür ist, dass Zähler und Nenner in Produktform, also faktorisiert, vorliegen. Oft muss man diese Faktorisierung erst einmal vornehmen, bevor man kürzt. Folgende Techniken helfen dabei am häufigsten weiter:
  • Ausklammern von x bzw. einer Potenz von x, z.B. bei x³−4x²+x
  • Binomische Formeln
  • Lösungsformel für qudratische Gleichung oder auch Satz von Vieta
Eine Definitionslücke ist (anders als bei einer Polstelle) behebbar, wenn der "problematische" Faktor im Nenner herausgekürzt werden kann. Zur näheren Bestimmung von Nullstellen, Polstellen und (evtl. behebbaren) Definitionslücken sollte man also wie folgt vorgehen:
  1. Zähler und Nenner so weit wie möglich faktorisieren
  2. Definitionsmenge bestimmen: ALLE auftretenden Faktoren im Nenner, die Null werden können, liefern eine Definitionslücke (ganz gleich, ob man sie herauskürzen kann oder nicht)
  3. Definitionslücken näher spezifizieren: behebbar, wenn herauskürzbar; ansonsten Polstelle
  4. Nullstellen bestimmen: nur solche Faktoren im Zähler, die nicht herausgekürzt werden können, liefern Nullstellen der Funktion.
Beispiel
Bestimme evtl. auftretende Nullstellen und Definitionslücken und charakterisiere diese näher.
f(x)
=
4
−
6x
9x
3
−
4x
Beispiel
Untersuche die folgende rationale Funktion hinsichtlich evtl. Defintionslücken, Polstellen, Nullstellen sowie Asymptoten und skizziere anhand der gewonnenen Informationen den Graph.
f(x)
=
2x
3
−
8x
6x
2
−
3x
3

Sei c eine beliebige reelle Zahl. Der Limes von f(x) für x → c- bzw. x → c+ gibt an, wie sich die Funktion in unmittelbarer Umgebung links bzw. rechts von x = c verhält.

Beispiel
Wie verhält sich f in der Umgebung der Definitionslücken?
graphik
Strebt bei einem Bruch der Zähler gegen eine konstante Zahl ≠ 0 und der Nenner gegen 0- bzw. 0+, so strebt der Bruch, je nach Vorzeichen des Zählers, gegen -∞ oder +∞.
Beispiel
Bestimme, wenn möglich:
l i m
x → 5-   
 
1
−
x
x
−
5
 
          
 
l i m
x → 5   
 
1
−
x
x
−
5
Der Limes einer gebrochen-rationalen Funktion für x → ∞ oder x → -∞ kann durch Ausklammern der höchsten Nennerpotenz bestimmt werden.

Noch einfacher geht es mit folgender Regel ("z" steht für Zählergrad, "n" für Nennergrad, mit " lZ" und " lN" sind die jeweiligen Leitkoeffizienten gemeint):

  • = 0, falls z < n (x- Achse als Asymptote)
  • = lZ : lN, falls z = n (waagrechte Asymptote, aber nicht die x-Achse)
  • = ∞ bzw. -∞, falls z > n; ob "+" oder "-" findet man heraus, indem man Zähler und Nennergrad sowie die Leitkoeffizienten betrachtet
Beispiel
l i m
x → -∞   
 
x
3
−
2
x
2
+
3x
=
?