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  • Fläche und Bogenlänge eines Keissektors ("Kuchenstücks") können als Bruchteil der gesamten Kreisfläche bzw. des gesamten Kreisumfangs berechnet werden. Ist α der Mittelpunktswinkel des Sektors, so gilt

    ASektor = α/360° · AKreis

    b (Bogenlänge) = α/360° · uKreis

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  • ...des Kreissektors mit Mittelpunktswinkel 210° für einen Kreis mit Durchmesser 12 cm.
    A
    Sektor
     
     
    cm
    2
    Notizfeld
    Notizfeld
    Tastatur
    Tastatur für Sonderzeichen
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Kreisumfang und Kreisfläche
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Kreisumfang und Kreisfläche

Kanal: Mathegym

Teilt man den Umfang eines Kreises durch seinen Durchmesser, so ergibt sich, ganz egal wie groß der Kreis ist, ungefähr die Zahl 3,14. Man spricht von der "Kreiszahl π", die genau genommen uendlich viele Nachkommastellen hat und nicht periodisch ist.

Ein Kreis mit Radius r und Durchmesser d=2r hat also den Umfang
U = 2r·π = d·π.

Ein Kreis mit Radius r hat den
  • Durchmesser d = 2r
  • Umfang U = d·π = 2r·π
  • Flächeninhalt A = r²·π
Verdoppelt man den Radius eines Kreises, so verdoppeln sich auch sein Durchmesser und sein Umfang, dagegen vervierfacht sich seine Fläche (2² = 4).

Verdreifacht man den Radius eines Kreises, so verdreifachen sich auch sein Durchmesser und sein Umfang, dagegen verneunfacht sich seine Fläche (3² = 9)

Ver-n-fachung des Radius bedeutet
Ver-n-fachung des Umfangs und
Ver-n²-fachung des Flächeninhalts.

Radius und Durchmesser sind damit zueinander proportional, Radius (bzw. Umfang) und Flächeninhalt dagegen nicht.

Beispiel
Gegeben sind zwei Kreise k1 und k2, von denen man weiß:
6u
1
=
u
2
Vervollständige damit die Gleichungen
r
1
=
?r
2
A
1
=
?A
2
Fläche und Bogenlänge eines Keissektors ("Kuchenstücks") können als Bruchteil der gesamten Kreisfläche bzw. des gesamten Kreisumfangs berechnet werden. Ist α der Mittelpunktswinkel des Sektors, so gilt

ASektor = α/360° · AKreis

b (Bogenlänge) = α/360° · uKreis

Beispiel
Berechne Fläche und Bogenlänge b des Kreissektors mit Mittelpunktswinkel 250° für einen Kreis mit Radius 3cm.
graphik
Bogen und Fläche des Kreissektors verhalten sich zu Umfang und Fläche des Gesamtkreises wie der Mittelpunktswinkel α zu 360°, d.h.

b / U = ASektor / AKreis = α / 360°

Verwende die passende Gleichung - je nachdem, welche Größen gegeben und gesucht sind - um Radius, Bogenlänge, Fläche von einem Kreis bzw. Kreissektor zu bestimmen.
Figuren, in denen unterschiedliche Kreise, Halbkreise und Viertelkreise vorkommen, lassen sich sowohl vom Umfang als auch vom Flächeninhalt her berechnen, indem man die Einzelumfänge bzw. -flächen addiert.
Beispiel
Berechne Umfang und Flächeninhalt der abgebildeten Figur:
graphik
Rund um den Kreis gibt es mathematische Begriffe, die eindeutig definiert sind:
  • Der Radius r ist die Länge der Verbindungsstrecke des Kreismittelpunkts zu einem beliebigen Punkt der Kreislinie.
  • Der Durchmesser d ist die Länge der Verbindungsstrecke zweier Punkte der Kreislinie, die durch den Kreismittelpunkt verläuft.
  • Der Umfang u ist die Länge der Kreislinie.
  • Der Flächeninhalt A ist die Fläche, die von der Kreislinie begrenzt wird.
  • Die Kreiszahl π ist der Proportionalitätsfaktor zwischen Umfang und Durchmesser eines Kreises.
Beispiel
Kennzeichne jeweils in rot den Radius r, Durchmesser d, Umfang U und den Flächeninhalt A eines Kreises.
Rund um Kreisteile gibt es mathematische Begriffe, die eindeutig definiert sind:
  • Ein Kreisbogen b ist ein Teil einer Kreislinie.
  • Ein Kreissektor ist durch zwei Radien und dem dazwischenliegenden Kreisbogen begrenzt.
  • Der Mittelpunktswinkel µ eines Kreissektors ist der Winkel, den die Radien einschließen.
  • Eine Kreissehne ist die Verbindungsstrecke zweier Punkte einer Kreislinie.
  • Ein Kreissegment wird durch eine Kreissehne und einen Kreisbogen begrenzt.
Beispiel
Kennzeichne jeweils in rot einen Kreisbogen b, Kreissektor, Mittelpunktswinkel μ, eine Kreissehne und ein Keissegment eines Kreises.
Beim Kreissegment berechnet man...
  • den Umfang, indem man die Länge der Kreissehne und des Kreisbogens zusammenrechnet.
  • den Flächeninhalt, indem man vom Flächeninhalt des Kreissektors den des gleichschenkligen Dreiecks abzieht.
Beispiel 1
Berechne den Umfang eines Kreissegments mit
r
=
2
 
cm
μ
=
40°.
Beispiel 2
Berechne den Flächeninhalt eines Kreissegments mit
r
=
4
 
cm
μ
=
36°.