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Löse folgende quadratische Gleichung. Wenn es nur eine bzw. gar keine Lösung gibt, gib im zweiten Feld bzw. in beiden Feldern "!" ein.

x
2
=
49
x
1
=
x
2
=
  • Nebenrechnung
Lernvideo
Quadratische Gleichungen

Quadratische Gleichungen können leicht gelöst werden, wenn
  • x nur im Quadrat vorkommt (z.B. -2x² + 3 = 2)
    → nach x² auflösen, zuletzt Wurzel ziehen; beachte "±" !
  • keine (additiven) Konstanten auftreten (z.B. -2x² = 3x)
    → alle x-Terme auf eine Seite und x ausklammern
Beispiel
Löse jeweils so einfach wie möglich (ohne Lösungsformel):
1
    
2x
2
+
5
=
0
2
    
1
3
·
x
2
2
3
=
0
3
    
3x
2
+
2x
=
0

Die drei Binomischen Formeln (BF) lauten in der Rückwärtsversion:

  1. a² + 2ab + b² = (a + b)²
  2. a² − 2ab + b² = (a − b)²
  3. a² − b² = (a + b) (a − b)

In dieser Richtung (links ohne Klammer, rechts mit) ermöglichen die Formeln, eine Summe oder Differenz in ein Produkt umzuformen ("faktorisieren"). Hier ist es wichtig, dass man den linken Term erst einmal überprüft: Liegt die passende Struktur für eine BF vor? Eine Probe (andere Richtung) gibt Gewissheit.

Beispiel
Löse durch Faktorisieren:
x
2
1
9
=
0
Ein Produkt ist genau dann 0, wenn mindestens ein Faktor 0 ist. Daher hat eine quadratische Gleichung der Form
  • (x − 1)⋅(x + 2) = 0 die zwei Lösungen 1 und -2
  • (x − 3)² = 0 nur die Lösung 3
Beispiel
Gib eine quadratische Gleichungen an, die als einzige Lösung x = -5 hat.

Die Lösungen der quadratische Gleichung x² + px + q = 0 könnnen, falls vorhanden, immer mit der sog. pq-Formel bestimmt werden. Zunächst berechnet man die sog. Diskriminante:

D = (p/2)² − q

Je nachdem, ob D positiv, null oder negativ ist, gibt es genau zwei, genau eine oder gar keine Lösung. Abgesehen vom letzten Fall heißt/heißen die Lösung(en):

x1,2 =-p/2 ± √D

Beispiel
Löse die Gleichung 
x
2
9x
+
2
=
0
.
Ist die quadratische Gleichung in der Form

ax² + bx + c = 0

gegeben (d.h. steht vor x² eine Zahl ≠ 1), so muss man die Gleichung erst auf beiden Seiten durch a teilen (a ≠ 0 vorausgesetzt), bevor man die pq-Formel anwendet.
Beispiel
Löse die Gleichung 
2x
2
10x
=
14
.

Faktorisieren mit dem Rechteckmodell (Satz von Vieta)

Beim Rechteck-Modell stellt man sich den quadratischen Term als Rechteck vor und sucht eine passende Unterteilung in vier Felder. Der Flächeninhalt des Gesamt-Rechtecks kann dann auf zwei Arten ermittelt werden:

  • Summe der Teilflächen (=Teilterme). Diese ergibt am Ende den gegebenen Gesamtterm.
  • "Länge mal Breite" des großen Rechtecks. Länge und Breite haben hierbei die Form ?x+?. Das Produkt der beiden Terme liefert damit die faktorisierte Form des gegebenen Terms.

Beispiel
Löse die quadratische Gleichung, indem du zunächst den quadratischen Term faktorisierst. Das Rechteck-Modell kann helfen.
3x
2
+
10x
8
=
0
x
1
=
?
x
2
=
?