Quadratische Gleichungen - Anwendungen - Mathematikaufgaben

Aufgaben, die auf das Lösen von quadratischen Gleichungen führen: Schnittpunkte von Graphen, Aussagen über die Diskriminante bei Schnitt- oder Berührpunkten, Bruchglgeichungen - gemäß Lehrplan für 9.-12. Klasse

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  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
  • Eine Gleichung kann graphisch gelöst werden, indem man beide Seiten der Gleichung als Funktionsterm betrachtet und die zugehörigen Graphen zeichnet. Die Stellen, wo sie sich schneiden bzw. berühren, sind die Lösungen der Gleichung. Keine gemeinsamen Punkte dagegen heißt keine Lösung.

Ermittle die Lösung(en) graphisch. Ergebnis(se) mit 1 Dezimalstelle(n) Genauigkeit angeben - geringe Abweichungen vom richtigen Ergebnis werden toleriert!

x
−
1
2
−
3
2
=
2
x
1
 
≈
 
x
2
 
≈
 
  • Nebenrechnung
Checkos: 0 max.
Eine Gleichung kann graphisch gelöst werden, indem man beide Seiten der Gleichung als Funktionsterm betrachtet und die zugehörigen Graphen zeichnet. Die Stellen, wo sie sich schneiden bzw. berühren, sind die Lösungen der Gleichung. Keine gemeinsamen Punkte dagegen heißt keine Lösung.
Beispiel
Löse graphisch:
0,5x
2
−
1
=
−
1,5x
−
2
Die Schnitt- und Berührpunkte (gemeinsame Punkte) zweier Graphen Gf und Gg ermittelt man durch Gleichsetzen ihrer Funktionsterme, also f(x) = g(x). Setze die Lösung der Gleichung in f(x) oder g(x) ein, um den zugehörigen y-Wert zu ermitteln.

Spezialfall f(x) = 0: Hier geht es um die gemeinsamen Punkte von Gf mit der x-Achse.

Beispiel
Bestimme die Schnittpunkte der beiden Parabeln f und g mit folgenden Gleichungen:
f
 
x
=
3
4
 
x
2
+
2x
−
10
g
 
x
=
1
4
 
x
2
+
1,5x
−
4
.

Eine Lösung der Gleichung f(x) = h(x) kann als Schnitt- oder Berührstelle der beiden Graphen Gf und Gh interpretiert werden. Eine Lösung der Gleichung f(x) = 0 kann als Schnitt- oder Berührstelle von Gf mit der x-Achse interpretiert werden.

Sofern die Gleichung quadratisch ist, kann man aus dem Vorzeichen der Diskriminante D auf die Anzahl der gemeinsamen Punkte schließen und umgekehrt:

  • D > 0 ⇔ zwei Schnittstellen
  • D = 0 ⇔ eine Berührstelle
  • D < 0 ⇔ weder Schnitt- noch Berührstelle, also keine gemeinsamen Punkte
Bruchgleichungen der Art a / b = c / d löst man durch Überkreuzmultiplizieren: man multipliziert dabei den linken Zähler mit dem rechten Nenner und den rechten Zähler mit dem linken Nenner und setzt beide Produkte gleich.

Auch bei komplizierteren Bruchgleichungen geht man so vor, dass man die Gleichung zunächst nennerfrei macht. Das gelingt, indem man beide Seiten mit dem Produkt aller auftretenden Nennerterme bzw. mit ihrem gemeinsamen Vielfachen ("Hauptnenner") multipliziert.

Beispiel
Löse die Gleichung:
3x
−
1
2x
+
3
=
−
6x
2
−
4x

Die Graphen zweier quadratischer Funktionen (Parabeln) oder einer quadratischen und einer linearer Funktion (Parabel und Gerade) f und g können sich zweimal schneiden, einmal berühren oder auch keine gemeinsamen Punkte aufweisen. Um das herauszufinden, setzt man beide Funktionsterme gleich, also f(x) = g(x), und bringt die Gleichung in die Normalform x² + px + q = 0. Mit Hilfe der Diskriminante D = (p/2)² − q bekommt man die Antwort:

  • D > 0 ⇔ zwei Schnittstellen
  • D = 0 ⇔ eine Berührstelle
  • D < 0 ⇔ weder Schnitt- noch Berührstelle, also keine gemeinsamen Punkte
Beispiel
Gegeben sind eine Parabel p und eine Geradenschar 
g
m
 durch
p
x
=
1
2
 
x
−
1
2
+
2
g
m
 
x
=
mx
−
2
Bestimme m so, dass sich Parabel und Gerade berühren.