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  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
  • Jeder Winkel kann in Grad angegeben werden (z.B. 90° für den rechten Winkel) oder im Bogenmaß (π/2).

    Man muss sich das so vorstellen: Sticht man in den Scheitel des 90°-Winkels ein und zeichnet einen Kreis mit Radius 1, so ist der Bogen zwischen den beiden Schenkeln genau π/2 lang.

    Umrechnung zwischen Grad- und Bogenmaß mittels Dreisatz, ausgehend von

    180° (Grad)    entspricht    π (Bogenmaß)

Gib als Vielfaches von π (also im Bogenmaß) an. Erwartet wird ein gekürzter Bruch.

  • 60°
     
     
     
    π
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Sinus und Kosinus am Einheitskreis und als Funktion

Jeder Winkel kann in Grad angegeben werden (z.B. 90° für den rechten Winkel) oder im Bogenmaß (π/2).

Man muss sich das so vorstellen: Sticht man in den Scheitel des 90°-Winkels ein und zeichnet einen Kreis mit Radius 1, so ist der Bogen zwischen den beiden Schenkeln genau π/2 lang.

Umrechnung zwischen Grad- und Bogenmaß mittels Dreisatz, ausgehend von

180° (Grad)    entspricht    π (Bogenmaß)

Beispiel 1
Wandle 230° ins Bogenmaß um.
Beispiel 2
Drücke die Winkel π/11 und 5 (Bogenmaß) jeweils in Grad aus.
Jedem Winkel α lässt sich auf dem Einheitskreis genau ein Punkt P(x|y) zuordnen. Der Winkel wird dabei von der positiven x-Achse aus entgegen dem Uhrzeigersinn gedreht. Man definiert:

cos(α) = x und sin(α) = y

Sinus- und Kosinuswerte können also als Koordinaten von Punkten des Einheitskreises aufgefasst werden.
Beispiel 1
Ermittle anhand des Einheitskreises:
sin
 
450°
=
?
cos
 
360°
=
?
Beispiel 2
Mit welchen der folgenden vier Werte stimmt   cos (31°)   überein? Entscheide anhand des Einheitskreises.
cos
31°
cos
 
149°
cos
 
211°
cos
 
121°

Sei P der Punkt des Einheitskreises, der dem Winkel α zugeordnet ist.

Winkel Spiegelung von P Vozeichenänderung Formeln
−α bzw.
360° − α
an der x-Achse nur sin sin(α) = − sin(360° − α)
cos(α) = cos(360° − α)
180° − α an der y-Achse nur cos sin(α) = sin(180° − α)
cos(α) = − cos(180° − α)
α ± 180° am Ursprung sin und cos sin(α) = − sin(α ± 180°)
cos(α) = − cos(α ± 180°)
α ± 360° P verändert sich nicht sin(α) = sin(α ± 360°)
cos(α) = cos(α ± 360°)
Beispiel 1
Gib alle Lösungen im Intervall [0° ; 360°] an.
sin
x
=
0,7
Beispiel 2
Führe   sin( 139° )   auf einen Winkel im Intervall [180° ; 270°] zurück.