Ableitung - mittlere/lokale Änderungsrate, Differenzenquotient - Matheaufgaben

Rechnerische und graphische Bestimmung von mittlerer und lokaler Änderungsrate; Zusammenhang zwischen f und f´ anhand von Graphen; Untersuchung von abschnittsweise definierten Funktionen und Betragsfunktion auf Differenzierbarkeit - Lehrplan Nordrhein-Westfalen, Gymnasium G8, 9. Klasse/10. Klasse

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  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
  • Die mittlere Änderungsrate einer Funktion f im Intervall [a; b] ergibt sich durch

    [ f(b) − f(a) ] / ( b − a)

    Aufgrund seiner Struktur nennt man diesen Term auch Differenzenquotient.

Bestimme die mittlere Änderungsrate. Ergebnis(se) falls erforderlich auf die 1. Dezimalstelle gerundet eingeben!

Mobilfunkanschlüsse in Deutschland (Quelle BITKOM)
Jahr
96
97
98
99
00
01
02
03
04
05
06
Anschlüsse (Mio)
5,6
8,3
13,9
23,5
48,1
56,1
59,2
64,8
71,4
79,2
82,8
von 1996 bis 2000:     
 
m
 
≈
 
Mio/Jahr
von 2000 bis 2006:     
 
m
 
≈
 
Mio/Jahr
Bemerkung: die beliebte Frage nach dem "eingeschlossen oder ausgeschlossen" erübrigt sich hier. Es geht um die Veränderung, also die Differenz zwischen dem "von" und dem "bis"!
  • Nebenrechung
Checkos: 0 max.

Die mittlere Änderungsrate einer Funktion f im Intervall [a; b] ergibt sich durch

[ f(b) − f(a) ] / ( b − a)

Aufgrund seiner Struktur nennt man diesen Term auch Differenzenquotient.
Beispiel
(1) Maximilian war Ende Januar 1,35 m groß und Ende Juni 1,37 m. Wie groß ist in diesem Zeitraum die durchschnittliche Änderungsrate?
(2) Wie groß ist die durchschnittliche Änderungsrate der Normalparabel mit Scheitel im Ursprung im Intervall [3;7]?
Graphisch lässt sich die mittlere Änderungsrate im Intervall [a; b] als Steigung der Geraden (Sekante) durch die entsprechenden Punkte des Graphen veranschaulichen.

Die lokale Änderungsrate an der Stelle x = a ist folglich die Steigung der Geraden (Tangente), die den Graph im entsprechenden Punkt berührt. Man stelle sich zum besseren Verständnis ein winziges Intervall [a; b] und die zugehörige Sekante vor. Lässt man das Intervall weiter schrumpfen, also b gegen a gehen, wird aus der Sekante eine Tangente.

Beispiel
Schätze die mittlere Änderungsrate im angegebenen Intervall bzw. die lokale Änderungsrate an der gegebenen Stelle ab.
graphik
Intervall [-1; 5]:       
 
m
 
≈ ?
Stelle x
0
=
4:       
 
m ≈ ?
Man kann auch die lokale Änderungsrate einer Funktion f an der Stelle x0 mit Hilfe geeigneter Differenzenquotienten bestimmen. Man berechnet dazu

[ f(x) − f(x0) ] / (x − x0)

für x-Werte, die sich von links und von rechts an x0 annähern. Erläuterung: die zugehörigen Sekanten gleichen dadurch immer mehr der Tangente an der Stelle x=x0.
Rechnerisch ergibt sich die lokale Änderungsrate an der Stelle x = a, indem man den Grenzwert des Differenzenquotienten

[ f(a+h) − f(a) ] / h

für h → 0 (h ≠ 0) bestimmt. Diesen Grenzwert (sofern er existiert) nennt man Differentialquotient.
Beispiel
Berechne die lokale Änderungsrate an der Stelle a.
f(x)
=
2
x
−
x
;
a
=
−
2

Die Ableitung f´ einer differenzierbaren Funktion f liefert für jede definierte Stelle x die lokale Änderungsrate (= Steigung des Graphen von f an dieser Stelle). Insbesondere zeigt das Vorzeichen von f ´ an, ob f im betrachteten Intervall zunimmt oder abnimmt:

f´(x) f bzw. Gf
> 0 streng monoton zunehmend bzw. wachsend
< 0 streng monoton abnehmend bzw. fallend
= 0 waagrechte Tangente
Beispiel
Dargestellt ist der Graph der Funktion f. In welchen Intervallen verläuft der Graph der Ableitung f ' oberhalb/unterhalb der x-Achse und wo hat er Nullstellen?
graphik
Besitzt der Differenzenquotient

[ f(a+h) − f(a) ] / h

für h → 0 (h ≠ 0) keinen Grenzwert, so ist f an der Stelle a nicht differenzierbar.

Das kann sich beispielsweise darin äußern, dass die einseitigen Grenzwerte nicht übereinstimmen. Der Graph weist an einer solchen Stelle einen Knick auf.