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  • Allgemeine Hilfe zu diesem Level
    Wenn f(x) = a · xm mit a ∈ ℝ und m ∈ ℤ \ {0}, dann ist
    f (x) = a · m · x m−1.

    Spezialfälle:

    • f(x) = a · x ⇒ f ´ (x) = a
    • f(x) = a ⇒ f ´ (x) = 0

Bestimme den Ableitungsterm. Variablenpotenzen sind in der Form "a^n" einzutragen.

f
 
x
=
3
 
x
9
'
 
x
=
  • Nebenrechung

Lernvideo
Ableitung von x^n
Lernvideo
Ableitung von x^n - Beweis

Wenn f(x) = a · xm mit a ∈ ℝ und m ∈ ℤ \ {0}, dann ist
f (x) = a · m · x m−1.

Spezialfälle:

  • f(x) = a · x ⇒ f ´ (x) = a
  • f(x) = a ⇒ f ´ (x) = 0

Beispiel
f
 
x
=
1
2x
10
f ´
 
x
=
?
Die Ableitung von a·xn ist a·n·xn−1. Für ganzrationale Funktionen gilt daher:
  • Wenn f den Grad n besitzt, dann besitzt die Ableitung f´ den Grad n−1 und jede Stammfunktion F den Grad n+1. Insbesondere ist der Grad von f´ und F damit ungerade, falls der Grad von f eine gerade Zahl ist und umgekehrt.
  • Wenn der Leitkoeffizient von f(x), also der Faktor vor der höchsten x-Potenz, eine positive bzw. negative Zahl ist, dann gilt das auch für die Leitkoeffizienten von f´ und F.
Beispiel
Abgebildet ist der Graph der ganzrationalen Funktion f. Setze den Term der Ableitung f´(x) richtig zusammen. Wähle dazu aus der ersten und letzten Spalte jeweils den passenden Teilterm aus (in der Mitte steht immer 4x).
f´(x)
=
x
4
x
5
x
4
x
5
+
4x
 
+
 
x
+
 
1
 
1
graphik
Liegt eine gebrochen rationale Funktion vor, deren Nenner nur eine x-Potenz enthält, so lässt sich der Funktionsterm umformen in eine Reihe von x-Potenzen. Die Ableitung kann dann ganz einfach mithilfe der Regel für Potenzfunktionen gebildet werden.
Beispiel
f
 
x
=
2x
7
3x
+
5
0,5x
 
x
=
?
Wenn f(x) = a · xr mit a ∈ ℝ und r ∈ ℚ \ {0}, dann ist
f (x) = a · r · x r−1.
Beispiel 1
f(x)
=
4
x
9
6
f´(x)
=
?
Beispiel 2
f
 
x
=
1
4
·
x
1
3
+
7x
2
+
2
3
f '
 
x
=
?
Beispiel 3
f
 
x
=
3
 
x
5
 
3
x
2
+
7
x
2
f '
 
x
=
?