Drücke das Zufallsexperiment durch ein geeignetes Urnenexperiment aus.

  • Emil darf sich an der Eisdiele drei Kugeln Eis zusammenstellen. Die Eisdiele bietet acht verschiedene Eissorten an.
    Urnenexperiment: aus einer Urne mit Kugeln werden Kugeln entnommen.
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Laplace-Experiment
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Laplace-Experiment

Kanal: Mathegym

Unterscheide bei einem Zufallsexperiment zwischen
  • Ergebnis: z.B. die Augenzahlen 1, 2, ...6 beim Würfeln
  • Ereignis: eine bestimmte Auswahl von Ergebnissen, also z.B. "ungerade Augenzahl"

Bei einem Zufallsexperiment schaut man auf bestimmte Ergebnisse. Yasmin wettet z.B. mit ihrer Freundin um 50 €, dass Sie beim nächsten Wurf mit dem Würfel eine gerade Zahl erhält.

In der Sprache der Wahrscheinlichkeitsrechnung setzt Yasmin auf das Ereignis "gerade Zahl". Dieses Ereignis tritt ein, wenn Sie z.B. eine 4 würfelt. Die Augenzahl 4 nennt man dann ein (für das Ereignis) günstiges Ergebnis. Alle anderen Augenzahlen nennt man ungünstig.

Jedes Ereignis E hat eine bestimmte Wahrscheinlichkeit P(E). Hierbei handelt es sich um einen Wert zwischen 0 und 1 (oder 0% bis 100%). Auf die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kann man schließen
  • durch Überlegung: Beim Würfeln mit einem normalen Würfel z.B. hat "Augenzahl 5" die Wahrscheinlichkeit 1/6 (ca. 16,7%).
  • durch Statistik: Wenn man ein Zufallsexperiment sehr oft durchgeführt hat, legt die relative Häufigkeit eines Ereignisses dessen Wahrscheinlichkeit nahe.

Bei einem Laplace-Experiment kann man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E nach folgender Formel bestimmen:

Anzahl der Ergebnisse in E : Anzahl aller möglichen Ergebnisse

Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten kann ein Ereignis E mehrere Pfade im Baumdiagramm umfassen. Um die Wahrscheinlichkeit von E zu bestimmen, muss man die Wahrscheinlichkeiten dieser Pfade addieren (2. Pfadregel).
Beispiel
In einer Urne befinden sich zwei schwarze, zwei weiße und eine orange Kugeln. Es werden drei Kugeln hintereinander - ohne Zurücklegen - gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jede Farbe einmal drankommt?
In einem Baumdiagramm gelten folgende Pfadregeln:
  1. Die Wahrscheinlichkeit eines Pfads ergibt sich durch Multiplikation der Ast-Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfads (Produktregel).
  2. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ergibt sich durch Addition der Wahrscheinlichkeiten aller Pfade, die zu dem Ereignis führen (Summenregel).
  3. Die Wahrscheinlichkeiten aller Äste, die von einem Verzweigungspunkt ausgehen, ergeben in der Summe 1 (Verzweigungsregel).